Résoudre l’équation revient à trouver l’abscisse des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.
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Calcul du discriminant de P
Cela revient à étudier les racines de P(x)=3x2−5x+1. On applique la formule du cours :
Δ=(−5)2−4×3×1=13.
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Étude du signe du discriminant
On constate ici que Δ>0.
Le polynôme admet donc deux racines réelles distinctes w1 et w2.
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Calcul des racines de P
On applique à nouveau la formule du cours, ce qui donne :
w1=2×3−(−5)−13=65−13 ;
w2=2×3−(−5)+13=65+13.
Ce sont les seules solutions de l’équation.
Déterminer la position d’une courbe polynomiale par rapport à l’axe des abscisses
Quelle est la position de la courbe représentative de P(x)=3x2−5x+1 par rapport à l’axe des abscisses dans un repère du plan ?
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Calcul des racines de P
On se sert de la méthode de calcul des racines d’un polynôme du second degré et on constate que le discriminant est strictement positif et donc que P admet deux racines réelles distinctes :
w1=65−13 et w2=65+13
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Déterminer le signe du coefficient du terme de degré 2
Ce coefficient vaut ici 3>0.
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Signe de P(x) en fonction de x
D’après ce qui précède :
si x<w1 ou si x>w2, alors P(x)>0 (signe de 3) ;
si w1<x<w2, alors P(x)<0 (signe de −3) ;
si x=w1 ou si x=w2, alors P(x)=0 (racines de P).
Mise sous forme canonique d’un polynôme du second degré (sans appliquer la formule)
Mets P(x)=3x2−5x+1 sous forme canonique (sans te servir de la formule du cours).
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Factoriser par le coefficient du terme de plus haut degré :
P(x)=3(x2−35x+31)
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Faire apparaître un double produit sur le terme en x :
P(x)=3(x2−2×2×35x+31)=3(x2−2×65x+31)
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Faire apparaître le carré qui permet de compléter l’identité remarquable (u+v)2=u2+2uv+v2
P(x)=3(x2−2×65x+(65)2−(65)2+31)
Et ainsi :
P(x)=3(x2−2×65x+(65)2−3613)
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Conclure en appliquant l’identité remarquable
P(x)=3((x−65)2−3613)
On a donc réussi à écrire P sous sa forme canonique, sans passer par la formule du cours, et seulement en essayant de former une identité remarquable.
Résoudre une équation bicarrée
Une équation bicarrée est une équation du type ax4+bx2+c=0. Résous 3x4−5x2+1=0.
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Changement de variable
On pose y=x2 :
cela entraîne que le signe de y est positif, et que 3x4−5x2+1=3(x2)2−5x2+1=3y2−5y+1 ;
on se ramène alors à la résolution de l’équation du second degré 3y2−5y+1=0.
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Résolution de l’équation du second degré
Pour résoudre 3y2−5y+1=0, on applique la méthode de résolution pour les équations du second degré et on trouve deux racines distinctes :
w1=65−13 ;
et w2=65+13.
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Calcul des solutions de l’équation bicarrée
On envisage deux cas : y=w1ou y=w2.
Cas n°1 : y=w1
Or x2=y donc x2=w1=65−13. Pour trouver x, il suffit donc de résoudre l’équation x2=65−13. On constate que 65−13>0 et donc que l’on peut appliquer la fonction racine carré à l’égalité. On trouve (attention au signe !) :
x=−65−13 ou x=65−13
Cas n°2 : y=w2
On applique la même méthode que le cas n°1, en faisant bien attention au fait que 65+13>0 pour pouvoir appliquer la fonction racine carré. On trouve que les solutions dans ce cas sont :