Une suite de matrices colonnes de taille $2$ est une matrice colonne de taille $2$ dont les coefficients dépendent de $n$.

• On note $U_{n}=\begin{pmatrix} v_{n} \\w_{n}\\\end{pmatrix}$.

$U_{n}=\begin{pmatrix}n\\\frac{n^{2}}{1+n^{2}}\\\end{pmatrix}$

• On peut calculer par exemple $U_{2}=\begin{pmatrix}2\\\frac{4}{5}\\\end{pmatrix}$

Soit une suite récurrente définie par $u_{n+2}=au_{n+1} + bu_{n}$.

• Posons $U_{n}=\begin{pmatrix} u_{n} \\u_{n+1}\\\end{pmatrix}$ ;
• et $A=\begin{pmatrix}0&1\\b&a\end{pmatrix}$.
• On a alors $U_{n+1}=AU_{n}$.

Soit la suite récurrente définie par $u_{n+2}=3u_{n+1} + 2u_{n}$.
En reprenant les notations de la propriété, calculons $AU_{n}$ :

• $AU_{n}=\begin{pmatrix}0&1\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_{n} \\u_{n+1}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_{n+1}\\2u_{n}+3u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+1} \\u_{n+2}\\\end{pmatrix}=U_{n+1}$

Soit une suite de matrices colonnes $U_{n}$ telle qu’il existe une matrice carrée $A$ d’ordre $2$ vérifiant $U_{n+1}=AU_{n}$ :

• $\forall n\in N$, $U_{n}=A^{n}U_{0}$

Soit $U_{n}$ une suite de matrices colonnes de taille $p$.

• La suite de matrices est dite convergente si tous les termes de la matrice convergent lorsque $n \rightarrow +\infty$.
• Dans ce cas, la limite de la suite matricielle est la matrice dont les coefficients sont la limite de chaque suite.
• Dans les autres cas, la suite matricielle est dite divergente.

$U_{n}=\begin{pmatrix}n^{2}+2n+2\\ \frac{1}/{n+1}\end{pmatrix}$

• $\frac{1}{n+1} \rightarrow 0 (n \rightarrow +\infty)$ mais $n^{2}+2n+2 \rightarrow +\infty (n \rightarrow +\infty)$.
• Donc la suite $U_{n}$ est divergente.

$V_{n}=\begin{pmatrix}1+\frac{n^{2}+4}{3n^{2}+6}\\ \frac{5}/{n^{3}+1}\end{pmatrix}$

• $1+\frac{n^{2}+4}{3n^{2}+6} \rightarrow \frac{4}{3} (n \rightarrow +\infty)$ (voir cours sur les limites !) ;
• et $\frac{5}{n^{3}+1} \rightarrow 0 (n \rightarrow +\infty)$
• Donc $V_{n}$ converge vers la matrice V=\begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\ 0}\end{pmatrix}.

Soit $U_{n}$ une suite de matrices colonnes de taille $p$, $A$ une matrice carrée d’ordre $p$ et $B$ une matrice colonne de taille $p$ telle que $U_{n+1}=AU_{n}+B$.

• Si la suite $U_{n}$ est convergente, alors sa limite $U$ vérifie la relation $U=AU+B$