Une matrice $M$ à $m$ lignes et $n$ colonnes est représentée par un tableau de même dimension. On écrit la matrice de la façon suivante :
$\begin{pmatrix}&a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\&a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\&a_{m1} &a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$

• Le terme $a_{ij}$ représente le nombre situé à l’intersection entre la $i$^ème ligne et la $j$^ème colonne.
• Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice $M$.

Soit la matrice $M=\begin{pmatrix}&2 &7&\frac{2}{3}&-4\\&24&\pi&42 &42\\&3.19&-578 &1&6 \end{pmatrix}$.

• $\pi$ correspond au terme situé sur la 2^e ligne, 2^e colonne
• donc $a_{22}=\pi$.
• De même, l’intersection de la 1^ère ligne, 3^e colonne correspond à $\frac{2}{3}$
• donc $a_{13}=\frac{2}{3}$.

Soient $A$ et $B$ deux matrices. Elles sont égales si et seulement si :

• elles ont le même nombre de lignes et de colonnes ;
• elles ont les mêmes coefficients.

Soient 2 matrices $A$ et $B$ de même taille.
Soit $C = A+B$.
Les coefficients de la matrice $C$ s’obtiennent par addition des coefficients de $A$ et $B$ :

• $\forall (i,j)$, $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.

De même, si $C = A - B$, alors :

• $\forall (i,j)$, $c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$.

Soit $A$ une matrice, et $\lambda$ un réel.
On note la matrice $C=\lambda A$ la matrice dans laquelle tous les coefficients de A ont été multipliés par $\lambda$ :

• $\forall (i, j)$, $c_{ij}=\lambda \times a_{ij}$

Soient $C=\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\cdots\\c_{p}\\ \end{pmatrix}$ et $L=\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&\cdots&l_{p}\end{pmatrix}$ une matrice colonne et une matrice ligne.
Le produit matriciel $LC$ est un réel qui vaut :

• $LC=l_{1}c_{1}+l_{2}c_{2}+\cdots+l_{p}c_{p}=\sum_{k=1}^{p}l_{k}c_{k}$

Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d’ordre $n$, et $C=AB$.

• $C$ est alors une matrice carrée d’ordre $n$ ;
• les coefficients $c_{ij}$ de $C$ correspondent au produit matriciel de la $i$^e ligne et de la $j$^e

Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$.

• $I_{n}A=AI_{n}=A$
• Le produit matriciel est associatif : $A(BC)=(AB)C=ABC$
• $AB\neq BA$ en général !
• En particulier, $(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$ et non l’identité telle qu’on la connaît avec les nombres.
• Le produit matriciel est distributif : $A(B+C)=AB + AC$
• $\forall k \in R$, $(kA)B=A(kB)=k(AB)$

Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations linéaires qui relient des inconnues ensemble.

Un système linéaire est caractérisé par son nombre d’équations et son nombre d’inconnues, qui sont souvent identiques.

\left\{\begin{matrix}3x_{1}+2x_{2}+x_{3}=2\\ 5x_{1}+x_{2}+3x_{3}=0\\ 3x_{1}-8x_{2}+x_{3}=-1 \end{matrix}\right

• Ici, il y a $3$ équations et $3$ inconnues.
• Le but est de résoudre ce système pour trouver les inconnues $x_{1}$ , $x_{2}$ et $x_{3}$.

Soit un système de $n$ équations à $n$ inconnues suivant :

\left\{\begin{matrix}<br />a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\<br />a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\<br />\cdots \\<br />a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n}<br />\end{matrix}\right

Afin de simplifier l’écriture du système, on pose :
$A=\begin{pmatrix}&a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\&a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\&a_{n1} &a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\cdots\\x_{n}\\ \end{pmatrix},<br />B=\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\cdots\\b_{n}\\ \end{pmatrix}$.

On a donc :

• $A\times X=B$