Proposition : Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration : Supposons qu’il existe un nombre fini de nombres premiers (n par exemple). Notons les p1,p2,...,pn, et considérons le nombre A=p1×p2×p3×...×pn+1.
Si A est premier, A étant strictement supérieur aux p1,p2,...,pn alors il y a n+1 nombres premiers donc l’hypothèse est fausse. Donc forcément A n’est pas premier et il possède un diviseur premier autre que 1 et lui-même que l’on note Q.
De plus, le reste de la division euclidienne de A par p1,p2,...,pn vaut 1, donc A n’est pas divisible par p1,...,pn. Q ne peut pas être les p1,...,pn, et Q est premier, donc Q est un n+1ième nombre premier. On aboutit à une contradiction donc il y a une infinité de nombres premiers.