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1
Divisibilité
2
Division euclidienne et congruence
3
PGCD
4
Nombres premiers
4
Nombres premiers
Définition
Nombre premier
Un nombre entier strictement supérieur à
1
1
1
est dit premier si ses seuls diviseurs (strictement positifs) distincts sont
1
1
1
et lui-même.
Exemple
7
7
7
n’est divisible que par
7
7
7
et lui-même donc
7
7
7
est premier.
9
0
0
900
9
0
0
est divisible par
5
5
5
donc
9
0
0
900
9
0
0
n’est pas premier.
1
1
1
n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur.
Propriété
Décomposition en produit de nombres entiers
Tout nombre entier strictement supérieur à
1
1
1
s’écrit comme un produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique.
Exemple
Décomposons
5
9
0
590
5
9
0
:
5
8
0
=
1
0
×
5
8
=
5
×
2
×
2
×
2
6
=
2
2
×
5
×
2
×
1
3
=
2
3
×
5
×
1
3
580 = 10 \times 58=5\times2\times2\times26=2^{2}\times5\times2\times13=2^{3}\times5\times13
5
8
0
=
1
0
×
5
8
=
5
×
2
×
2
×
2
6
=
2
2
×
5
×
2
×
1
3
=
2
3
×
5
×
1
3
.
(un nombre premier se décompose en lui-même :
1
3
=
1
3
13=13
1
3
=
1
3
)
Théorème
Infinité de nombres premiers
Il existe une infinité de nombres premiers.
Remarque
La démonstration de ce théorème est exigible ; retrouve-la dans la partie « Démonstrations » de cette fiche.
Théorème
Diviseur premier et racine d'un nombre
Soit
n
n
n
un entier, et
p
p
p
un diviseur premier de
n
n
n
.
p
≤
n
p \leq \sqrt {n}
p
≤
n
.
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