Dans toute la suite du cours, on adoptera les notations suivantes :

• $\Leftrightarrow$ signifie « si et seulement si » ;
• $N= \text{ensemble des entiers naturels}=\{0,1,2,3,...\}$ ;
• $Z= \text{ensemble des entiers relatifs}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$ ;
• $\exists$ signifie « il existe » ;
• $\exists !$ signifie « il existe un unique ».

Soient $a,b \in Z$.
On dit que $a$ est un multiple de $b$ si et seulement s’il existe un entier relatif $k$ tel que :

• $a=kb$

  On écrit dans ce cas :

• $b\mid a$

Il existe d’autres formulations : $a$ est divisible par $b$, $b$ divise $a$, $b$ est un diviseur de $a$.

Soit un nombre $A$ tel que$A \mid 2n+1$ et $A \mid 2n$.

• D’après la propriété 5) ci-dessus, $A \mid 2n+1 - 2n$ (en prenant $\alpha=1, \beta=-1$) donc $A \mid 1$.
• Or $1 \mid A$ d’après la propriété 1).
• On conclut avec la propriété 2) que $A=1$ ou $A=-1$.

Si $a \mid b$, alors $\forall k \in N, a^{k} \mid b^{k}$.

Voici quelques règles pour trouver les diviseurs d'un nombre :

• Si $n$ est pair, alors $n$ est divisible par $2$.
• Si la somme des chiffres de $n$ est un multiple de $3$, alors $n$ est divisible par $3$.
• Si $n$ finit par $0$ ou par $5$, alors $n$ est divisible par $5$.
• Si la somme des chiffres de $n$ est un multiple de $9$, alors $n$ est divisible par $9$.
• Si $n$ contient $3$ chiffres et que la somme des chiffres de gauche et de droite donne le chiffre du centre, alors $n$ est divisible par $11$.