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À savoir refaire
1
Divisibilité
2
Division euclidienne et congruence
3
PGCD
4
Nombres premiers
1
Divisibilité
Remarque
Dans toute la suite du cours, on adoptera les notations suivantes :
⇔
\Leftrightarrow
⇔
signifie « si et seulement si » ;
N
=
ensemble des entiers naturels
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
N= \text{ensemble des entiers naturels}=\{0,1,2,3,...\}
N
=
ensemble des entiers naturels
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
;
Z
=
ensemble des entiers relatifs
=
{
.
.
.
,
−
3
,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
Z= \text{ensemble des entiers relatifs}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}
Z
=
ensemble des entiers relatifs
=
{
.
.
.
,
−
3
,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
;
∃
\exists
∃
signifie « il existe » ;
∃
!
\exists !
∃
!
signifie « il existe un unique ».
Définition
Divisibilité dans
Z
Z
Z
Soient
a
,
b
∈
Z
a,b \in Z
a
,
b
∈
Z
.
On dit que
a
a
a
est un multiple de
b
b
b
si et seulement s’il existe un entier relatif
k
k
k
tel que :
a
=
k
b
a=kb
a
=
k
b
On écrit dans ce cas :
b
∣
a
b\mid a
b
∣
a
Il existe d’autres formulations :
a
a
a
est divisible par
b
b
b
,
b
b
b
divise
a
a
a
,
b
b
b
est un diviseur de
a
a
a
.
Exemple
9
0
90
9
0
est un multiple de
−
5
-5
−
5
car
9
0
=
(
−
1
8
)
×
(
−
5
)
90=(-18)\times(-5)
9
0
=
(
−
1
8
)
×
(
−
5
)
;
2
2
2
divise
3
4
34
3
4
car
3
4
=
1
7
×
2
34 = 17\times2
3
4
=
1
7
×
2
;
l’ensemble des multiples de
3
3
3
est
{
.
.
.
,
−
9
,
−
6
,
−
3
,
0
,
3
,
6
,
9
,
.
.
.
}
\{...,-9,-6,-3,0,3,6,9,...\}
{
.
.
.
,
−
9
,
−
6
,
−
3
,
0
,
3
,
6
,
9
,
.
.
.
}
.
Propriété
Divisibilité dans
Z
Z
Z
1
1
1
divise tout entier relatif et
0
0
0
est divisible par tout entier relatif ;
si
a
∣
b
a\mid b
a
∣
b
et
b
∣
a
b\mid a
b
∣
a
, alors soit
a
=
b
a=b
a
=
b
soit
a
=
−
b
a=-b
a
=
−
b
;
si
a
∣
b
a\mid b
a
∣
b
, alors
∀
c
∈
Z
,
a
∣
b
c
\forall c \in Z, a\mid bc
∀
c
∈
Z
,
a
∣
b
c
;
transitivité : si
a
∣
b
a\mid b
a
∣
b
et
b
∣
c
b\mid c
b
∣
c
, alors
a
∣
c
a\mid c
a
∣
c
;
si
a
∣
b
a\mid b
a
∣
b
et
a
∣
c
a\mid c
a
∣
c
, alors
∀
\forall
∀
α
\alpha
α
,
β
\beta
β
∈
Z
\in Z
∈
Z
,
a
∣
α
b
+
β
c
a\mid \alpha b+\beta c
a
∣
α
b
+
β
c
(
a
a
a
divise toute combinaison linaire de
b
b
b
et
c
c
c
).
En particulier,
a
∣
b
+
c
a\mid b+c
a
∣
b
+
c
,
a
∣
b
−
c
a\mid b-c
a
∣
b
−
c
.
Exemple
Soit un nombre
A
A
A
tel que
A
∣
2
n
+
1
A \mid 2n+1
A
∣
2
n
+
1
et
A
∣
2
n
A \mid 2n
A
∣
2
n
.
D’après la propriété 5) ci-dessus,
A
∣
2
n
+
1
−
2
n
A \mid 2n+1 - 2n
A
∣
2
n
+
1
−
2
n
(en prenant
α
=
1
,
β
=
−
1
\alpha=1, \beta=-1
α
=
1
,
β
=
−
1
) donc
A
∣
1
A \mid 1
A
∣
1
.
Or
1
∣
A
1 \mid A
1
∣
A
d’après la propriété 1).
On conclut avec la propriété 2) que
A
=
1
A=1
A
=
1
ou
A
=
−
1
A=-1
A
=
−
1
.
Remarque
Si
a
∣
b
a \mid b
a
∣
b
, alors
∀
k
∈
N
,
a
k
∣
b
k
\forall k \in N, a^{k} \mid b^{k}
∀
k
∈
N
,
a
k
∣
b
k
.
Remarque
Voici quelques règles pour trouver les diviseurs d'un nombre :
Si
n
n
n
est pair, alors
n
n
n
est divisible par
2
2
2
.
Si la somme des chiffres de
n
n
n
est un multiple de
3
3
3
, alors
n
n
n
est divisible par
3
3
3
.
Si
n
n
n
finit par
0
0
0
ou par
5
5
5
, alors
n
n
n
est divisible par
5
5
5
.
Si la somme des chiffres de
n
n
n
est un multiple de
9
9
9
, alors
n
n
n
est divisible par
9
9
9
.
Si
n
n
n
contient
3
3
3
chiffres et que la somme des chiffres de gauche et de droite donne le chiffre du centre, alors
n
n
n
est divisible par
1
1
11
1
1
.
Exemple
3
6
3
363
3
6
3
:
3
+
3
=
6
3+3=6
3
+
3
=
6
donc
3
6
3
363
3
6
3
est divisible par
1
1
11
1
1
(en effet,
3
6
3
=
1
3
×
1
1
363=13 \times 11
3
6
3
=
1
3
×
1
1
).
1
5
7
8
1578
1
5
7
8
:
1
+
5
+
7
+
8
=
2
1
1+5+7+8=21
1
+
5
+
7
+
8
=
2
1
or
2
1
21
2
1
est divisible par
3
3
3
donc
1
5
7
8
1578
1
5
7
8
est divisible par
3
3
3
(
1
5
7
8
=
3
×
5
2
6
1578=3\times 526
1
5
7
8
=
3
×
5
2
6
) !
1
2
0
0
1200
1
2
0
0
est divisible par
1
0
10
1
0
(
1
2
0
0
=
1
2
0
×
1
0
1200=120\times 10
1
2
0
0
=
1
2
0
×
1
0
) mais
1
2
0
120
1
2
0
est aussi divisible par
1
0
10
1
0
(
1
2
0
=
1
2
×
1
0
120=12\times 10
1
2
0
=
1
2
×
1
0
) donc
1
2
0
0
1200
1
2
0
0
est divisible par
1
0
0
100
1
0
0
(
1
2
0
0
=
1
0
0
×
1
2
1200=100\times 12
1
2
0
0
=
1
0
0
×
1
2
).
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