Dans la plupart des exercices de divisibilité, factoriser permet de faire apparaître des possibles multiples.
Ici, on peut utiliser l’identité $a^{2}-1=(a+1)(a-1)$

Une « bonne » façon de raisonner est de prendre des exemples pour $a$.

• pour $a = 2$, $N= 1 \times2\times3$ qui est bien un multiple de $6$ car $N$ est un multiple de $3$.
• pour $a = 7$, $N= 6\times7\times8$ qui est toujours un multiple de $6$.
• pour $a = -5$, $N= (-4)\times(-5)\times(-6)$. $N$ est là encore un multiple de $6$.

  Dans tous les cas, $N$ semble faire apparaître un multiple de $6$, pour toute valeur de $a$. Donc $a$ ou $a-1$ ou $a+1$ serait multiple de $6$.  

C’est effectivement le cas : en effet, $N$ est le produit de trois entiers consécutifs. Or, parmi trois entiers consécutifs, forcément l’un d’entre eux est multiple de $3$. Donc $N$ est un multiple de $3$, donc un multiple de $6$.

Donc $\forall a \in Z, N=a(a^{2}-1)$ est un multiple de $6$.

• $a+3 \mid a+1$
• mais $a+3 \mid a+3$
• donc $a+3 \mid a+1 - (a+3)$ soit $a+3 \mid -2$.

  Donc $a+3 \in \{-2,-1,0,1,2\}$ d’où $a \in \{-5,-4,-3,-2,-1\}$.

On cherche des facteurs communs. Ici on doit comparer $\frac{n(n+1)}{2}$ et $n$.
On remarque que $n$ fait partie des deux termes, on voudrait donc écrire que $n$ divise $\frac{n(n+1)}{2}$.
Encore faut-il que $\frac{n+1}{2}$ soit entier, ce qui est le cas si $n$ est impair (car $n+1$ est dans ce cas pair).

• Cas $n$ impair : si $n$ est impair, $\frac{n+1}{2}$ est entier donc $n \mid \frac{n(n+1)}{2}$.
• Donc le reste de la division euclidienne vaut $0$.

• Cas $n$ pair : dans ce cas, $\exists k \in N$ tel que $n=2k$.
• Donc $\frac{n(n+1)}{2}=\frac{2k(2k+1)}{2}=k(2k+1)= k\times n + \frac{n}{2}$.

Attention : pour qu’une division euclidienne soit finie, le reste doit être strictement inférieur au diviseur, ce qui est bien le cas ici.

• Donc le reste de la division euclidienne dans le cas où $n$ est pair est $\frac{n}{2}$.

Le nombre à considérer est gigantesque, on ne peut pas poser la division euclidienne à la main.
Par contre, des propriétés sur la congruence peuvent nous permettre de nous affranchir de la puissance.

• En effet, on sait que si $a \equiv b \ [n]$, alors $a^{k} \equiv b^{k} \ [n]$. 

On va donc commencer par chercher le résultat de la division euclidienne de $200$ par $17$.

• $200 = 11\times 17 + 13$, soit $200 \equiv 13 \ [17]$.

Si on applique la propriété des puissances sur les congruences, il faut toujours calculer $13^{15789}$ ce qui est compliqué. Essayons donc $200^{2}$.

• $200^{2} \equiv 13^{2} \ [17]$, soit $200^{2}=169 \ [17]$
• Or $169 \equiv 16 \ [17]$.
• Donc $200^{2} \equiv 16 \ [17]$.

Par additivité de la congruence, $200^{2} \equiv 16 - 17 \ [17]$ donc $200^{2} \equiv -1 \ [17]$.

La congruence étant compatible avec les puissances, $(200^{2})^{390} \equiv -1^{390} \ [17]$

• $(200^{2})^{390}=200^{780}$ et $-1^{390}=1$ car $390$ est pair.
• Donc $200^{780} \equiv 1 \ [17]$, le reste vaut $1$.

De même, $200^{780} \equiv 1 \ [17]$.

• D'où $200^{781} \equiv 200 \ [17]$.
• Or $200 \equiv 13 \ [17]$.
• Donc $200^{781} \equiv 13 \ [17]$
• Le reste de la division euclidienne de $200^{781}$ par $17$ vaut donc $13$.

On cherche ici le plus grand diviseur commun à $168$ et $147$ pour pouvoir diviser le numérateur et le dénominateur par le plus grand nombre possible.

• Il faut donc calculer $\text{PGCD}(168;147)$.

$168=147 \times 1+21$ puis $147 = 21 \times 7+0$.

• Donc $\text{PGCD}(168;147)=PGCD(147;21)=21$. 
• Donc le plus grand diviseur commun à $147$ et $168$ est $21$. 
• D'où $\frac{147}{168}=\frac{21 \times 7}{21 \times 8}=\frac{7}{8}$.

Le couple $(-1,1)$ est solution de l’équation.

• En effet, $7\times (-1)+12 \times 1=5$.

On a 2 équations :

• $7x+12y = 5$    (1) 
• $7\times (-1)+12 \times 1=5$    (2)

On soustrait (1) de (2) pour obtenir $7(x+1)+12(y-1)=0$

• Soit $7(x+1)=12(1-y)$.

$12$ et $7$ sont premiers entre eux, donc d’après le théorème de Gauss, $12 \mid (x+1)$.

• Ainsi $\exists k \in Z, 12k=(x+1)$, soit $x=-1+12k$.
• De même, $y=1-7k$.

Donc les solutions de l’équation $7x=12y=5$ sont :

• $\{x=-1+12k,y=1-7k\}, k \in Z$.

• $239 = 13 \times 18 + 5$ donc $239 \equiv 5 [13]$.
• $239 = 17 \times 14 +1$ donc $239 \equiv 1 [17]$.
• Donc $239$ est bien solution du système (*).

Soit $n$ solution du système (*).

• $n \equiv 1 [17] \Rightarrow \exists a \in N, n=1+17a$
  (c’est simplement l’écriture de la division euclidienne).
• De même,  $n \equiv 5 [13] \Rightarrow \exists b \in N, n=5+13b$.
• D'où $1+17a=5+13b$ ce qui équivaut à $17a - 13b=4$ qui est l’équation vérifiée par $a$ et $b$.

Trouvons une solution particulière de l’équation $17a-13b=4$.

• On remarque que le couple (1;1) fonctionne. 

On réecrit donc :
$17a - 13 b = 4 \Leftrightarrow 17 a - 13 b = 17 - 13 \Leftrightarrow 17(a-1)=13(b-1)$.

$17$ et $13$ sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Gauss :

• $13 \mid (a-1)$

Donc $\exists k \in Z,13k=(a-1)$.

On reporte dans l’équation :

• $17 \times 13k=13(b-1) \Leftrightarrow b=1+17k$

Donc, si le couple (x,y) est solution de $17a-13b=4$ alors :

• $\exists k \in Z, a=1+13k, b=1+17k$.

• D’après l'étape 1, $n=1+17a$ ;
• et avec l'étape 2, $a=1+13k$, donc $n=18+221k, k \in Z$.

Donc les solutions du système (*) sont de la forme $n=18+221k$, $k \in Z$.