Soient $a$ et $b$ deux réels, $a<b$.
La loi uniforme sur l’intervalle $[a;b]$ est la loi de probabilité continue dont la densité est définie pour tout $t\in [a;b]$ par :

• $f(t)=\frac{1}{b-a}$

La loi uniforme sur $[1;3]$ a pour densité la fonction constante sur $[1;3]$ :

• $f(t)=\frac{1}{2}$

Soient $a$ et $b$ deux réels, $a<b$.
Soient $c$ et $d$ deux réels de $[a;b]$, $c\leq d$.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[a;b]$.

• $P(X\in [c;d])=\frac{d-c}{b-a}$

Si $X$ suit la loi uniforme sur $[1;3]$, on a :

• $P(X\in [1,5;2])=\frac{2-1,5}{3-1}=\frac{0,5}{2}=\frac14$

• Cela se retrouve facilement en calculant $\int_c^d \frac{1}{b-a} dx$.
• Étant donné que les probabilités sont uniformément réparties, calculer la probabilité que $X$ appartienne à l’intervalle $[c;d]$ revient à faire un rapport de proportion entre la taille de $[c;d]$ et $[a;b]$.

Par exemple, si celui-ci représente la moitié de $[a;b]$, on a forcément $50$ % de chances (soit une probabilité de $\frac12$) que $X$ soit dans cet intervalle.

Soient $a$ et $b$ deux réels, $a<b$.
L’espérance de la loi uniforme sur $[a;b]$ se calcule de la manière suivante :

• $E=\frac{a+b}{2}$

D'après les travaux de Moivre-Laplace, si on prend $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $B(n;p)$, et qu'on pose : $Z_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$, alors :

• quand $n$ devient assez grand ;
• la représentation de la densité de $Z_n$ se rapproche d'une courbe en cloche centrée sur l'axe des ordonnées.

Ces résultats ne sont absolument pas à retenir !

La loi normale centrée réduite $N(0;1)$ est la loi de probabilité continue dont la densité est définie pour tout $t$ réel par :

• $f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}$

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $N(0;1)$.
Pour tout réel $\alpha \in ]0;1[$, il existe un unique $u_{\alpha}$ réel positif tel que :

• $P(-u_{\alpha}\leq X \leq u_{\alpha})= 1-\alpha$

Pour $\alpha = 0,05$, voici une valeur à connaître :

• $P(-1,96\leq X \leq 1,96)\approx 0,95$

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $N(0;1)$.

• $E(X)=0$
• $V(X)=1$

Soient $m$ et $\sigma$ deux réels, $\sigma>0$.

• Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $N(m;\sigma ^2)$ si et seulement si $\frac{X-m}{\sigma}$ suit la loi $N(0;1)$.

• Soit $X$ une variable aléatoire de densité la fonction $f$ définie sur $R$ par : $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{(x-3)^2}{2}}$.
• $X$ suit en fait la loi $N(3;1)$.
• En effet, si on pose $y=\frac {x-3}{1}$, on obtient :

          $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{y^2}{2}}$.

• Qui correspond bien à la densité de la loi $N(0;1)$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $N(m;\sigma ^2)$.
On a :

• $P(m - \sigma \leq X \leq m + \sigma)\approx 0,683$
• $P(m - 2\sigma \leq X \leq m + 2\sigma)\approx 0,954$
• $P(m - 3\sigma \leq X \leq m + 3\sigma)\approx 0,997$

Reprenons $X$ la variable aléatoire suivant la loi $N(3;1)$.

• $P(3 - 2\times 1 \leq X \leq 3 + 2 \times 1)=P(1 \leq X \leq 5)\approx 0,954$

$X$ peut prendre toutes les valeurs réelles, mais a plus de $95$ % de chances d’être compris entre $1$ et $5$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $N(m;\sigma ^2)$.

• $E(X)=m$
• $V(X)=\sigma^2$