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Formules et Théorèmes
À savoir refaire
1
Généralités sur les lois à densité
2
Lois à densité usuelles
À savoir refaire

  • Prouver qu’une fonction est une densité de probabilité

    Soit ff la fonction définie sur [1;e13][1;e^{\frac13}] par :
    f(t)=3tf(t)=\frac3t
    Prouve que ff est une densité pour une loi de probabilité sur [1;e13][1;e^{\frac13}].
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      Poser clairement les hypothèses et objectifs

      • ff est définie sur [1;e13][1;e^{\frac13}] par : f(t)=3tf(t)=\frac3t.
      • On veut montrer que :
        • ff est continue et positive sur [1;e13][1;e^{\frac13}] ;
        • ∫1e13f(t)dt=1\int_1^{e^{\frac13}}f(t)dt=1.
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      Justifier continuité et positivité

      • ff est continue sur [1;e13][1;e^{\frac13}] en tant que fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas.
      • Pour tout t∈[1;e13]t \in [1;e^{\frac13}], on a : t>0t>0, donc f(t)=3t>0f(t)=\frac3t>0.
      • ff est bien continue et positive sur [1;e13][1;e^{\frac13}].
      2
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      Calculer l’intégrale

      • Il faut commencer par trouve une primitive de ff sur [1;e13][1;e^{\frac13}].
      • Le cas présent n’est pas compliqué, on sait que ln⁡\ln est une primitive de la fonction inverse, donc ici, on trouve une primitive de ff facilement : la fonction FF définie sur [1;e13][1;e^{\frac13}] par : F(t)=3ln⁡tF(t)=3\ln t.
      • On peut alors calculer l’intégrale :
        • ∫1e13f(t)dt=[3ln⁡t]1e13\int_1^{e^{\frac13}}f(t)dt=[3\ln t]_1^{e^{\frac13}}
        • =3ln⁡e13−0=3×13=1=3\ln e^{\frac13} -0=3 \times \frac13=1
      3
      3

      Conclure

      ff est donc continue et positive sur [1;e13][1;e^{\frac13}], et son intégrale sur ce même intervalle vaut 11, ff est donc une densité pour une loi de probabilité sur [1;e13][1;e^{\frac13}].

  • Calculer des probabilités à partir d’une loi de densité

    Soit ff la fonction définie sur [1;e13][1;e^{\frac13}] par :
    f(t)=3tf(t)=\frac3t
    Soit XX une variable aléatoire de densité ff sur [1;e13][1;e^{\frac13}].  Calcule P(X≥1,2)P( X \geq 1,2).
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      Traduire l’énoncé en mathématiques, et mobiliser les notions en jeu

      Commencer la résolution d’un exercice par un bilan des notions du cours en jeu te permet d’une part de construire une stratégie de résolution de l’exercice, et te permet aussi d’être plus serein(e) face à l’exercice qui ne te semble alors plus si insurmontable.  
      • ff est la densité de la variable aléatoire XX sur [1;e13][1;e^{\frac13}], cela signifie que pour tous réels aa et bb dans [1;e13][1;e^{\frac13}], a<ba<b, on a :
        • P(a≤X≤b)=∫abf(t)dtP(a \leq X \leq b)=\int_a^b f(t)dt
      1
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      Calculer la probabilité

      On a donc :
      • P(X≥1,2)=∫1,2e133tdtP( X \geq 1,2)=\int_{1,2}^{e^{\frac13}} \frac3tdt
      Alors :
      • P(X≥1,2)=3ln⁡e13−3ln⁡1,2=3×13−3ln⁡1,2=1−3ln⁡1,2P( X \geq 1,2)=3\ln e^{\frac13}-3\ln 1,2=3 \times \frac 13 - 3\ln 1,2=1 - 3\ln 1,2
      • P(X≥1,2)≈0,45P( X \geq 1,2) \approx 0,45
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