Une loi de probabilités discrète associe aux diverses valeurs xi possibles d’une variable aléatoire X les probabilités p(X=xi) correspondantes. Elle prend la forme d’un tableau.
x1
x2
...
xi
...
xn
p(X=x1)
p(X=x2)
...
p(X=xi)
...
p(X=xn)
Exemple
Pour un lancer de dé, la variable aléatoire est le résultat du lancer. On a 6 valeurs possibles, chacune ayant pour probabilité 61 : c’est une loi équiprobable.
Résultat du lancer de dé
1
2
3
4
5
6
Probabilité correspondante
61
61
61
61
61
61
BÉpreuve de Bernoulli
Rappel
Épreuve de Bernoulli
On appelle une épreuve de Bernoulli une expérience n’ayant que deux issues possibles : « succès » ou « échec ».
Le paramètre p de l’épreuve de Bernoulli est la probabilité de l’évènement « succès ».
L’évènement « échec » a donc pour probabilité 1−p.
Exemple
L’expérience « pile ou face » est une épreuve de Bernoulli de paramètre 21.
Rappel
Espérance et variance de l’expérience de Bernoulli
Soit X une variable aléatoire discrète suivant une loi de Bernoulli. On a :
E(x)=p
V(x)=p(1−p)
CCoefficients binomiaux
Rappel
Coefficients binomiaux
Soient n et k deux entiers naturels, k≤n et n=0. (kn) est un coefficient binomial.
On le lit « k parmi n ».
Il dénombre les combinaisons possibles de k éléments parmi n.
Exemple
(24) est le nombre de combinaisons de 2 éléments choisis parmi un ensemble de 4 éléments.
(24)=6
Remarque
Dans les cas simples, un coefficient binomial peut se calculer à la main, mais dans la majorité des cas il vaut mieux s’assurer de ne rien oublier en le calculant directement avec ta calculatrice.
Rappel
Résultats simples sur les coefficients binomiaux
Soient n et k deux entiers naturels, k≤n et n=0.
(0n)=(nn)=1
(1n)=(n−1n)=n
(kn)=(n−kn)
Remarque
La dernière formule peut se comprendre facilement :
choisir k éléments parmi n revient à ne pas choisir les autres n−k éléments.
Ainsi, à chaque combinaison de k éléments parmi n correspond une combinaison de n−k éléments.
DLoi binomiale
Rappel
Loi binomiale
Soient n et k deux entiers naturels,n=0. Soit X la variable aléatoire dénombrant les succès lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p (on parle de schéma de Bernoulli). On dit alors que X suit la loi binomiale B(n;p).
Exemple
L’expérience consistant à lancer 8 fois une pièce et à compter le nombre de fois où on obtient pile correspond à un schéma de Bernoulli, et donc la variable aléatoire comptant le nombre de pile suit la loi binomiale B(8;21).
Rappel
Résultats sur la loi binomiale
Soient n et k deux entiers naturels,n=0. Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p). Pour tout entier naturel k∈[0;n], on a :