Un arbre pondéré de probabilités représente de façon hiérarchisée toutes les issues possibles d’un problème.
Si on a deux expériences successives, la première ayant $3$ issues possibles, la seconde $4$ :

• l’arbre commencera par se diviser en $3$ branches ;
• puis chacune de ces branches se divisera en $4$ ;
• chaque branche est pondérée par une certaine probabilité.

De cette façon, toutes les combinaisons possibles seront représentées par une feuille, située au bout de chaque branche finale.

On a dans un sac des boules rouges ($R$), jaunes ($J$), et noires ($N$). Il existe deux modèles de boules : certaines sont en cuivre ($C$), d’autres en plomb ($P$). On pioche une boule dans le sac.
On peut alors construire un arbre de probabilités reprenant toutes les possibilités pour la boule piochée.

Un arbre peut se construire de diverses façons, selon l’ordre que l’on choisit pour les expériences. Cela nous sera utile plus tard dans le calcul de probabilités.

L’exemple précédent peut aussi s’illustrer par un arbre de probabilités commençant par traiter la couleur des boules avant de s’intéresser à leur matière. L’arbre reste juste.

On s’intéresse à la probabilité d’un évènement sachant qu’un autre évènement est déjà réalisé.
Soient $A$ et $B$ deux évènements, $p(A) \ne 0$.
La probabilité de $B$ sachant $A$ s’écrit :

• $p_A(B)$

Pour calculer $p_A(B)$, on utilise la formule suivante :

• $p_A(B)=\frac{p(A \cap B)}{p(A)}$

Dans une usine fabriquant des pièces de moteur, on a mis en place un test en fin de chaîne permettant d’identifier les pièces défectueuses pour les mettre sur le côté en attendant réparation. Toutes les pièces sont testées.
Soient $D$ l’évènement « la pièce est défectueuse », $T$ l’évènement « la pièce est déclarée saine par le test ».

• On sait qu’en moyenne $20$ % des pièces sont défectueuses à la sortie de la chaîne.
• $p(D)=0,2$
• On sait que ce test permet de repérer $90$ % des pièces défectueuses en moyenne.
• $p_D(\bar T)=0,9$
• Ce test a aussi pour défaut de mettre au rebut $1$ % des pièces saines.
• $p_{\bar D}(\bar T)=0,01$

Un arbre de probabilité pondéré permet d’illustrer aisément la situation.

Soient $A$ et $B$ deux évènements, $p(A) \ne 0$.

• $0 \leq p_A(B) \leq 1$ : une probabilité conditionnelle reste une probabilité.
• $p_A(\bar B)=1-p_A(B)$
• $p_A(A)=1$ : on sait que $A$ est réalisé, la probabilité qu’il se réalise est donc $1$.
• Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $p_A(B)=0$ : on sait que $A$ est réalisé, $B$ étant incompatible avec $A$, il ne peut se réaliser.

Soient $A$ et $B$ deux évènements, $p(A) \ne 0$.

• $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$

Si on reprend notre exemple d’usine :

• $p(D \cap T)=p(D)\times p_D(T)=0,2\times 0,1=0,02$
• Ainsi, seulement $2$ % des pièces sont défectueuses et passent pourtant positivement le test.
• $p(\bar D \cap \bar T)=p(\bar D)\times p_{\bar D}(\bar T)=0,8\times 0,01=0,008$
• Ainsi, les pièces saines mises au rebut représentent $0,8$ % de la production totale.
• On peut calculer de la même façon $p(D \cap \bar T)$ et $p(\bar D \cap T)$ et donc compléter l’arbre pondéré de probabilités.

Cette formule est utilisable aussi en intervertissant $A$ et $B$, si $p(B) \ne 0$.

• $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)=p(B)\times p_B(A)$

Cela peut permettre de trouver $p_B(A)$ à partir de $p_A(B)$.

Soit $\Omega$ l’univers des possibles.
On dit que $E_1$, $E_2$, $E_3$, …, $E_n$ sont $n$ évènements formant une partition de l’univers si et seulement si

• ils sont tous incompatibles entre eux,
• $\Omega=E_1 \cup E_2 \cup ....\cup E_n$

On a alors : $p(E_1)+p(E_2)+....+p(E_n)=1$

• Chaque ensemble de branches qui part d’un nœud de l’arbre doit être une partition de $\Omega$. Tu dois balayer l’ensemble des possibilités sans qu’aucune ne se superpose à une autre.
• La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut donc toujours $1$.

Ce résultat te permettra souvent de compléter un arbre de probabilités incomplet.

Soit $A$ un évènement de probabilité non nulle, et $\bar A$ son évènement contraire.

• $\{A ; \bar A\}$ est une partition de l’univers des possibles.

On a alors :

• $P(B) = P(B \cap A ) + P(B \cap \bar A)$
  $P(B) = P_A (B) \times P(A) + P_{\bar A}(B) \times P(\bar A)$

Soit $A$ un évènement.
Si $E_1$, $E_2$, $E_3$, …, $E_n$ forment une partition de l’univers $\Omega$, on a :

• $p(A)=p(A \cap E_1)+\cdots+p(A \cap E_n)=\sum_{k=1}^n p(A \cap E_k)$

Reprenons l’exemple de notre usine.
On voudrait savoir quelle est la probabilité $p(\bar T)$ que le test place une pièce au rebut.
$D$ et $\bar D$ forment une partition de l’univers donc on a, selon la formule des probabilités totales :

• $p(\bar T)=p(\bar T\cap D)+p(\bar T\cap \bar D)$
• =pièces défectueuses mises au rebut} +$pièces saines mises au rebut$=0,18+0,008$$p(\bar T)=0,188$Le test place donc$18,8$$p_{\bar{T}}(D) = x = \frac{0,18}{0,188}=0,957$.$