Manipuler un arbre de probabilités

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Traduire l’énoncé mathématiquement
On commence par introduire des évènements.
Soit $M$ l’évènement « l’individu est malade ».
Soit $V$ l’évènement « l’individu est vacciné ».

L’énoncé nous donne :
• $p(V)=0,5$
• $p_V(M)=0,01$
• $p_{\bar V}(\bar M)=0,25$
On cherche :

• $p(M)$
• $p_M(V)$
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Construire l’arbre de probabilités correspondant

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Exploiter la formule des probabilités totales
Comme $V$ et $\bar V$ forment une partition de l’univers, la formule des probabilités totales nous donne :

• $P(M) = P(M \cap V)+P(M \cap \bar V)$
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Calculer les données manquantes
On calcule donc la première et la troisième feuille de l’arbre en partant du haut.
On sait que la valeur d’une feuille est égale au produit des valeurs des branches qui y mènent.
• $P(M \cap V) = p(V) \times p_V(M) = 0,5 \times 0,01 = 0,005$
• $P(M \cap \bar V) = p(\bar V) \times p_{\bar V}(M) = 0,5 \times (1-0,25) = 0,5 \times 0,75 = 0,375$ (la somme des valeurs des branches d’un nœud vaut toujours $1$)
On  a donc :
• $P(M) = P(M \cap V)+P(M \cap \bar V)=0,005+0,375=0,38$
$38$ % de la population française est atteinte par l’épidémie.

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Retourner l’arbre de façon à trouver $p_M(V)$
Attention de bien remettre les feuilles à leur place.
De même que précédemment, le calcul des feuilles nous permet de trouver aisément la donnée recherchée.  
• $P(M \cap V) = p(M) \times p_M(V)$
• Donc $p_M(V)=\frac{P(M \cap V)}{p(M)}$ (on a vu que $p(M)\ne 0$).
• $p_M(V)=\frac{0,005}{0,38}\approx 0,013$
Donc environ $1,3$ % des malades avaient pourtant été vaccinés.

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Remarques
• N’oublie pas de traduire en français les résultats trouvés, surtout si l’énoncé les demandait comme ici. Cela montre que tu as compris l’exercice.
• Si tu connais parfaitement tes formules, tu peux te passer des arbres de probabilité, cependant ceux-ci t’éviteront de faire des erreurs d’étourderie, et surtout te permettront d’établir beaucoup plus facilement une stratégie de résolution. Il est donc conseillé de s’appuyer au moins sur un arbre fait rapidement au brouillon.