Soient $a$, $b$ et $c$ trois réel et $f$ une fonction continue sur $[a;b]$.

• $\int_{a}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx$

Soient $a$, $b$, $\alpha$ et $\beta$ des nombres, et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a;b]$.

• $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx$

Cette formule te permettra de calculer l'aire qui se situe entre deux courbes.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dont deux primitives sur $[a;b]$ sont $F$ et $G$.

• L'aire entre les courbes représentatives de $f$ et $g$ sur $[a;b]$ se calcule par $\int_a^b (f(x)-g(x))dx = \int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x))dx$.
• Ou en passant par la notation des primitives : $\int_a^b (f(x)-g(x))dx = F(b) - F(a) - (G(b) - G(a))$.

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.
Soient $a$ et $b$ appartenant à $I$ tels que $a\leq b$.

• Si pour tout $x$ de $[a;b]$ $f(x) \geq 0$, alors $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq 0$.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a;b]$.

• Si pour tout $x \in [a;b]$, $f(x) \leq g(x)$, alors $\int^{b}_{a}f(x)dx \leq \int^{b}_{a}g(x)dx$.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \neq b$. Soit $f$ une fonction continue sur $[a;b]$.
On appelle valeur moyenne $m$ de $f$ sur $[a;b]$ le résultat suivant :

• $m = \frac{1}{b-a} \int_a^bf(x)dx$

Calculons la moyenne de la fonction carrée entre $-1$ et $3$.

• $m = \frac{1}{3-(-1)} \int_{-1}^3x^2dx=\frac{1}{4}\times \left(\frac{9}{3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$
• La valeur moyenne de la fonction carré entre $-1$ et $3$ est donc $\frac{5}{6}$.

Par abus de langage, on peut dire que chercher la valeur moyenne de $f$ revient à chercher la hauteur d'un rectangle dont l'aire est égale à l'aire sous la courbe.

• Cela permet par exemple de calculer la vitesse moyenne d'un véhicule dont on a l'expression mathématique de la vitesse au cours du temps.
• Il faut rapprocher cette formule de celle de la moyenne de données discrètes.

En effet, quand tu veux faire la moyenne de tes notes sur l'année, tu fais l'opération suivante :

• $m = \frac{\text{note}_1+\text{note}_2+...+\text{note}_n}{n}$

Tu divises la somme de tes notes par le nombre de notes.
Le principe ici est le même : on « somme » toutes les valeurs prises par $f$, et on divise par la longueur de l'intervalle sur lequel on a sommé : $b-a$.