undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

0 pts

Formules et Théorèmes

Les primitives

L'intégrale comme l'aire sous la courbe

Calcul intégral et primitives

Propriétés des intégrales

À savoir refaire

L'intégrale comme l'aire sous la courbe

- Définition
  Le calcul intégral et l'aire sous la courbe
  Soient $a$ et $b$ deux réels, $a<b$ .
  Soit $f$ une fonction continue positive sur $[a ; b]$ .
  On définit l'intégrale $\int^{b}_{a}f(x)dx$ comme étant égale à l'aire entre :
  
  les droites verticales d'équations $x=a$ et $x=b$ ,
  
  la courbe $C_f$ et l'axe des abscisses.
- Remarque
  L'aire dont on parle est calculée en « unités d'aire ». Une unité d'aire est l'aire du rectangle défini par les vecteurs $\vec {i}$ et $\vec {j}$ du repère.
- Exemple
  En reprenant la définition de l'intégrale, $\int_{0}^{3}2dx$ représente l'aire entre l'axe des abscisses et la droite d'équation $y=2$ entre les points $0$ et $3$ .
  
  Or la droite d'équation $y=2$ est parallèle à l'axe des abscisses.
  
  Donc $\int_{0}^{3}2dx$ est en fait l'aire d'un rectangle de longueur 3 et de largeur 2.
  
  Donc $\int_{0}^{3}dx=2\times3=6$ unités d'aire.
- Exemple
  De même, $\int_{0}^{3}2xdx$ représente l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents valent $3$ et $6$ .
  
  Donc $\int_{0}^{2}xdx=\frac{3\times6}{2}=9$ unités d'aire.
- Remarque
  Quand tu as à faire à une courbe « complexe » dont tu ne connais pas l'expression, tu peux encadrer l'aire sous la courbe en comptant le nombre de carreaux unitaires qui se trouvent immédiatement sous et au-dessus de la courbe.
- Remarque
  Dans le cas des fonctions négatives, l'intégrale vaut bien l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, mais avec un signe négatif devant.
  
  Une aire reste toujours positive alors qu'une intégrale d'une fonction négative est négative.
- Remarque
  Dans le cas des fonctions ni entièrement positives ni entièrement négatives, l'intégrale vaut la somme des aires où la fonction est positive moins les aires où elle est négative.
  
  Ainsi, une fonction qui serait autant positive que négative sur l'intervalle d'intégration aurait une intégrale nulle.