On appelle primitive $F$ d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ une fonction telle que pour tout $x \in I$ :

• $F'(x)=f(x)$

La notion de primitive est donc « l'inverse » de la notion de dérivée.

$F: x\to x^2$ a pour dérivée $f: x\to 2x$ sur $R$.
Donc on dit que $F: x\to x^2$ est une primitive de $f: x\to 2x$, sur $R$.

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur cet intervalle.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
Pour tout réel $c$ :

• $x \mapsto F(x)+c$ est aussi une primitive de $f$.
• On dit que $f$ admet « une infinité de primitives » sur $I$.

Soit $x_0$ et $y_0$ deux nombres réels.
Soit $f$ une fonction continue sur $I$.

• Il existe une unique primitive $F_0$ de $f$ telle que $F_0(x_0)=y_0$.

On retiendra qu'une fonction n'admet jamais une unique primitive : il faut imposer une condition supplémentaire pour avoir une unique possibilité.

Soient $F$, $G$ et $H$ trois fonctions définies sur $R$, respectivement par $F(x)=x^2$, $G(x)=x^2+1$ et $H(x)=x^2+2$.

Pour tout réel $x$ :

• $F'(x)=G'(x)=H'(x)=2x$.
• $F$, $G$ et $H$ sont donc toutes trois des primitives de $f : x \to 2x$ sur $R$.
• En revanche $F$ est la seule primitive de $f$ qui vaut $0$ en $0$.

En pratique, lorsqu'on cherche les primitives d'une fonction, on utilise notre connaissance des dérivées usuelles, dans l'autre sens.

Dans le tableau suivant $n$ est un entier relatif. $a$ et $b$ sont des nombres réels.

 

Fonction	Primitives (pour tout réel $k$)	Domaine
$a$	$ax+k$	$R$
$x$	$\frac{x^2}{2}$	$R$
$x^2$	$\frac{x^3}{3}$	$R$
$x^n$ ($n \geq 1$)	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+k$	$R$
$x^n$ ($n \leq -2$)	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+k$	$]-\infty \ ; \ 0[$ ou $]0 \ ; \ +\infty[$
$\frac{1}{x}$	$\ln(x)+k$	$]0 \ ; \ +\infty[$
$\frac{1}{\sqrt x}$	$2\sqrt x+k$	$]0 \ ; \ +\infty[$
$e^x$	$e^x+k$	$R$

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Si $f$ est une fonction dont l'expression est $f(x) = u'(x)e^{u(x)}$ :

• alors $f$ admet des primitives sur $I$ ;
• et $F(x) = e^{u(x)} + k$.

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f(x)=2xe^{x^2}$.

• $f$ est de la forme $u'e^u$ avec $u(x)=x^2$. En effet, $x \mapsto 2x$ est bien la dérivée de $x \mapsto x^2$.
• Donc selon le tableau précédent, $f$ admet pour primitives les fonctions de la forme : $e^{x^2}+k$.

Toutes les fonctions n'admettent pas de primitives explicites (c'est-à-dire qui peuvent s'écrire sous la forme $F(x)=...$).

• $f : x \mapsto e^{-x^2}$ n'admet pas de primitives explicites sur $R$.

Trouver des primitives demande souvent un peu d'intuition et de confiance en soi. N'aie pas peur de prendre un brouillon et d'essayer plein de choses, soit pour te ramener à une des formes du tableau, soit pour trouver une astuce qui te donnera la solution !

Soient $a$ un nombre, et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ dont deux primitives sont $F$ et $G$.

• Les fonctions $af$ et $f+g$ sont continues et admettent des primitives sur $I$.
• Deux de ces primitives sont $aF$ et $F+G$.

Soient les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = x^2$ et $g(x) = \frac{1}{x}$ sur $R$.

• $F(x) = \frac{x^3}{3}$ et $G(x) = \ln(x)$ sont deux primitives de $f$ et $g$, respectivement sur $R$.
• $2F(x) = 2 \times \frac{x^3}{3}$ est l'expression d'une primitive de $2f$.
• $F(x)+G(x) = \frac{x^3}{3} + \ln(x)$ est l'expression d'une primitive de $f+g$.

Ces propriétés de linéarité des primitives vont te permettre de calculer des primitives de sommes de fonctions.