Utiliser le calcul intégral pour calculer un indice de Gini

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Représenter les deux courbes
Tu peux représenter ces deux courbes grâce à leurs expressions mathématiques.

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Calculer les valeurs de $f$ en $0$ et en $1$
$f(0) = e^0 - (e-2)\times 0 - 1 = 1 - 1 = 0$
• Donc la courbe représentative de $f$ passe par le point $O$ de coordonnées $(0;0)$.
$f(1) = e^1 - (e-2) - 1 = e - e + 2 - 1 = 1$
• Donc la courbe représentative de $f$ passe par le point $A$ de coordonnées $(0;1)$.
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Déterminer une primitive simple de $h$ définie par $x - f(x)$
Tu cherches ici à déterminer une aire entre deux courbes. Tu dois donc réaliser un calcul intégral en utilisant les expressions mathématiques des deux fonctions associées. Puisque la droite d'équation $y=x$ est au-dessus de la courbe de Lorenz (par définition), tu peux déterminer la fonction $h$ définie par $x - f(x)$ :
• $h(x) = x - e^x + (e-2)x + 1 = -e^x + (e-1)x + 1$
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Calculer l'intégrale de $h$ sur $[0;1]$ pour calculer l'aire entre les deux courbes
D'après le cours, si tu calcules l'intégrale entre $0$ et $1$ de $h$, tu pourras obtenir l'aire qui se situe entre les deux courbes. Faisons donc ce calcul !
• $\int_0^1 h(x)dx = \int_0^1 (-e^x + (e-1)x + 1)dx$
• Grâce à la relation de Chasles, tu peux écrire :
• $\int_0^1 h(x)dx = -\int_0^1e^xdx + (e-1)\int_0^1 xdx + \int_0^1 1dx$
• Or :
• une primitive de $x \mapsto e^x$ est $x \mapsto e^x$, donc $-\int_0^1e^xdx = -(e^1 - e^0) = -e+1$
• une primitive de $x \mapsto x$ est $x \mapsto \frac{1}{2}x^2$, donc $(e-1)\int_0^1 xdx = (e-1) \times (\frac{1}{2} - 0) = \frac{e-1}{2}\times$
• une primitive de $x \mapsto 1$ est $x \mapsto x$, donc $\int_0^1 1dx = 1 - 0 = 1$
• Donc $\int_0^1 h(x)dx = -e +1 + \frac{e-1}{2} + 1 = \frac{-e+3}{2}$.

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En déduire l'indice de Gini
L'indice de Gini $\gamma$ est défini par le rapport entre l'aire calculée précédemment et l'aire du triangle $OAB$ avec $B$ le point de coordonée $(1;0)$. L'aire du triangle $OAB$ vaut $\frac{1}{2}$ car c'est la moitié de l'aire du carré de côté $1$. Donc $\gamma = \frac{\int_0^1 h(x)dx}{0,5} = 2\int_0^1 h(x)dx$
• $\gamma = -e+3 \approx -2,7+3 = 0,30$