La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$.
Pour tout réel $x$ strictement positif :

• $\ln'(x)=\frac{1}{x}$

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 1-5\ln(x)$.

• $f$ est donc dérivable sur $]0;+\infty[$ ;
• sa dérivée a pour expression : $f'(x) = 0 - 5\times \frac{1}{x} = -\frac{5}{x}$.

La tangente à la courbe représentative de $\ln$ au point de coordonnées $(1;0)$ a pour équation :

• $y = x-1$

Tu retrouveras cette formule en appliquant la définition de la tangente à une courbe en un point particulier.

La fonction $\ln$ est concave sur $]0;+\infty[$.

On déduit cette propriété du fait que la dérivée de $\ln$ (qui est la fonction inverse) est décroissante sur $]0;+\infty[$.

• En effet, plus $x$ est grand, plus $\frac{1}{x}$ est petit ;
• donc la croissance de $\ln$ est « ralentie » quand $x$ augmente.

Pour tout $x \in ]0;+\infty[$ :

• $\ln(x) < x < e^x$

Cela se voit bien sur les représentations graphiques des trois fonctions :

• $C_{\exp}$ est toujours au-dessus de la droite d'équation $y=x$ ;
• la droite d'équation $y=x$ est toujours au-dessus de $C_{\ln}$.

Tu remarqueras aussi que $C_{\exp}$ est la courbe symétrique de $C_{\ln}$ par rapport à la droite d'équation $y = x$ !