Soit $a$ un nombre réel strictement positif. Il existe une unique solution à l’équation $e^y=x$, c’est $y=\ln(x)$.

• $\ln (x)$ se lit « logarithme népérien de $x$ ».
• La fonction logarithme népérien est la fonction qui à tout $x$ strictement positif associe $\ln(x)$.

Soit $a$ un réel et $b$ un réel strictement positif.

• Si $e^a=b$, alors $a=\ln (b)$, et réciproquement.

La fonction $\ln$ est définie et continue sur $]0 ; +\infty[$.

• Attention : si $a$ est un réel négatif ou nul, $\ln (a)$ n’existe pas !

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0 ;+\infty[$.

• Si $x \in \ ]0 ;1[$, alors $\ln x<0$ (et réciproquement).
• Si $x \in \ ]1 ;+\infty[$, alors $\ln x>0$ (et réciproquement).

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

• $\ln (a \times b) = \ln (a) + \ln (b)$

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

• $\ln \left(\frac{a}{b}\right) = \ln (a) - \ln (b)$
• $\ln \left(\frac{1}{b}\right) = -\ln (b)$

Soit $a$ un nombre réel strictement positif et $n$ un entier naturel relatif.

• $\ln (a^n) = n \ln (a)$

Toutes ces propriétés découlent de la relation fonctionnelle, tu pourras donc les retrouver facilement à partir de celle-ci si jamais tu ne te souviens pas de toutes.

Soit $a$ un nombre réel strictement positif et $q > 0$.

• $\ln (a^q) = q \ln(a)$ ;
• ce qui équivaut à $q^x = e^{\ln(q)}$.