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Formules et Théorèmes
À savoir refaire
1
Définition et propriétés du logarithme népérien
2
Étude de la fonction logarithme népérien
3
Résoudre des équations avec des exposants
À savoir refaire
Calcul d'un taux moyen à partir d'une équation de la forme
x
n
=
k
x^n = k
x
n
=
k
avec
k
>
0
k > 0
k
>
0
et
n
∈
N
n \in N
n
∈
N
Résous l'équation
(
1
+
t
)
5
=
CM
=
3
(1+t)^5 = \text{CM} = 3
(
1
+
t
)
5
=
CM
=
3
avec
CM
\text{CM}
CM
le coefficient multiplicateur global sur
5
5
5
ans et
t
t
t
le taux moyen.
0
0
Reconnaître une équation de la forme
x
n
=
k
x^n = k
x
n
=
k
Si tu poses :
x
=
1
+
t
x = 1 + t
x
=
1
+
t
;
k
=
CM
=
3
k = \text{CM} = 3
k
=
CM
=
3
;
et
n
=
5
n = 5
n
=
5
;
tu retrouves une équation de la forme
x
n
=
k
x^n = k
x
n
=
k
;
tu vérifies bien que
n
=
5
n=5
n
=
5
est un entier naturel et que
k
=
3
>
0
k = 3 > 0
k
=
3
>
0
.
On peut alors appliquer la formule du cours. Allons-y !
1
1
Se souvenir de la formule du cours
Soit
n
∈
N
n \in N
n
∈
N
et
k
>
0
k > 0
k
>
0
.
L'unique solution dans
]
0
;
+
∞
[
]0;+\infty[
]
0
;
+
∞
[
de l'équation
x
n
=
k
x^n = k
x
n
=
k
est :
x
=
k
1
n
x = k^{\frac{1}{n}}
x
=
k
n
1
2
2
Appliquer la formule
Dans ce cas, tu obtiens que l'unique solution est :
x
=
1
+
t
=
3
1
5
x = 1 + t = 3^{\frac{1}{5}}
x
=
1
+
t
=
3
5
1
(qui est aussi la racine cinquième de
3
3
3
).
Donc
t
=
x
−
1
=
3
1
5
−
1
t = x - 1 = 3^{\frac{1}{5}} - 1
t
=
x
−
1
=
3
5
1
−
1
.
3
3
Vérifier la solution trouvée
Pour éviter toute erreur de calcul ou d'étourderie, pense bien à chaque fois à vérifier ton résultat !
Pour cela, remplace
t
t
t
par
3
1
5
−
1
3^{\frac{1}{5}} - 1
3
5
1
−
1
:
(
1
+
3
1
5
−
1
)
5
=
(
3
1
5
)
5
=
3
1
5
×
5
=
3
=
CM
\left(1+3^{\frac{1}{5}} - 1\right)^5 = \left(3^{\frac{1}{5}}\right)^5 = 3^{\frac{1}{5}\times5} = 3 = \text{CM}
(
1
+
3
5
1
−
1
)
5
=
(
3
5
1
)
5
=
3
5
1
×
5
=
3
=
CM
4
4
Conclure
L'unique solution de l'équation
(
1
+
t
)
5
=
3
(1+t)^5 = 3
(
1
+
t
)
5
=
3
est
t
=
3
1
5
−
1
≈
0
,
25
t=3^{\frac{1}{5}} - 1 \approx 0,25
t
=
3
5
1
−
1
≈
0
,
25
.
Le taux moyen d'évolution annuel est donc d'environ
25
25
25
%.
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