undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

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Formules et Théorèmes

Relation entre $\exp$ et $\ln$
Soient $a$ et $b$ des nombres réels, $b$ strictement positif.
$e^a= b$ équivaut à $a=\ln (b)$
$e^{\ln (b)}=b$ et $\ln (e^a)=a$
Valeurs remarquables de $\ln$
Il existe deux valeurs remarquables de $\ln$ à mémoriser :
$\ln (1)=0$
$\ln (e)=1$
Relation fonctionnelle de $\ln$
Soient $a$ et $b$ des nombres réels strictement positifs.
$\ln (a \times b)=\ln (a) + \ln (b)$
Logarithme d’un quotient
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
$\ln \left(\frac{a}{b}\right) = \ln (a) - \ln (b)$
$\ln \left(\frac{1}{b}\right) = -\ln (b)$
Logarithme d’une puissance entière positive
Soit $a$ un nombre réel strictement positif et $n$ un entier naturel relatif.
$\ln (a^n) = n \ln (a)$
Logarithme d’une puissance $q > 0$
Soit $a$ un nombre réel strictement positif et $q > 0$ .
$\ln (a^q) = q \ln(a)$
Dérivée de $\ln$
$\ln$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ .
$\ln'(x) = \frac{1}{x}$
Solution de l'équation $e^x = k$
Soit $k >0$ .
L'unique solution de l'équation $e^x = k$ est :
$x = \ln(k)$
Solution de l'équation $x^n = k$
Soit $n \in N$ et $k > 0$ .
L'unique solution dans $]0;+\infty[$ de l'équation $x^n = k$ est :
$x = k^{\frac{1}{n}}$

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