undefined - Fiche de révision Afterclasse

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Formules et Théorèmes

Les fonctions exponentielles de base

q

La fonction exponentielle de base

e

Étude de la fonction

\exp

Les fonctions de la forme

e^u

4

Les fonctions de la forme

e^u

- Définition
  Fonctions de la forme $e^u$
  Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .
  
  La fonction $f = e^u$ est définie sur I par $f(x) = e^{u(x)}$ .
- Exemple
  La fonction $g$ définie sur $R$ par $g(x) = e^{2x^2 - 3}$ .
- Remarque
  La fonction $e^u$ étant dérivable sur $I$ , elle est aussi continue sur cet intervalle.
- Propriété
  Dérivée d'une fonction de la forme $e^{u(x)}$
  Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=e^{u(x)}$ .
  
  $f$ est dérivable sur $I$ ;
  
  et pour tout réel $x$ de $I$ : $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$ .
- Exemple
  Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f(x)=e^{2x^3}$ .
  
  Pour tout réel $x, f'(x)=6x\ e^{2x^3}$ .
- Propriété
  Signe de la fonction $e^u$
  Pour tout réel $x$ , $e^x$ est strictement positif, donc pour toute fonction $u$ définie sur un intervalle $I$ :
  
  $e^{u(x)}$ est strictement positive.
- Propriété
  Sens de variation d'une fonction de la forme $e^u$
  Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .
  
  $e^u$ a le même sens de variation que $u$ .

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