On admet que la fonction exponentielle est dérivable sur $R$ et que sa dérivée est :

• $\exp'(x) = \exp(x)$

La dérivée de la fonction exponentielle (de base $e$) est la fonction exponentielle (de base $e$).

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par : $f(x) = e^x + x + 2$.
$f$ est dérivable sur $R$, et d'après les formules de dérivées usuelles :

• $f'(x) = e^x + 1$

On a :

• $f''(x) = \exp''(x) = (\exp(x))' = \exp(x) > 0$

La dérivée seconde de $\exp$ étant strictement positive, la fonction exponentielle de base $e$ est convexe sur $R$. Graphiquement, cela signifie que la courbe $C_{\exp}$ est située au-dessus de sa tangente.

La tangente à $C_{exp}$ en $0$ a pour équation $y=exp'(0)(x-0) + exp(0)=x+1$, donc la courbe $C_{exp}$ est située au dessus de la droite d'équation $y=x+1$.

Soient $A$ et $B$ deux réels.
La fonction $\exp$ étant strictement croissante sur $R$, on a l'équivalence suivante :

• $e^A \leq e^B \Leftrightarrow A \leq B$

Il n'existe aucun réel $r$ tel que $\exp (r) \leq 0$.