Il existe une unique fonction exponentielle ayant pour nombre dérivé en $0$ le nombre $1$.
On appelle cette fonction la fonction exponentielle de base $e$.
Cette fonction est notée $\exp$ et est définie sur $R$ :

• $\exp(x) = e^x$

Par abus de langage, « la fonction exponentielle de base $e$ » sera plus simplement appelée « la fonction exponentielle ».

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels et $n$ un nombre réel.
On a :

• $\exp (1) = e^1 = e$
• $\exp'(0) = 1$
• $\exp (a+b)= \exp (a) \times \exp (b)$
• $(\exp (a))^n=\exp (na)$
• $\exp (a-b)=\frac{\exp (a)}{\exp (b)}$
• $\exp (-b)=\frac{1}{\exp (b)}$

Deux exponentielles de base $e$ sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux.
Ainsi :

• résoudre l'équation $e^a = e^b$ revient à résoudre $a=b$.

$e^x > 0$ sur $R$, donc l'équation $e^x = z$ n'a pas de solution pour $z \leq 0$.