undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

0 pts

q

La fonction exponentielle de base

e

Étude de la fonction

\exp

Les fonctions de la forme

e^u

Les fonctions exponentielles de base

q

- Définition
  Fonction exponentielle de base $q$
  Soit $q$ un réel strictement positif ( $q>0$ ).
  On appelle fonction exponentielle de base $q$ , toute fonction f définie sur $R$ par :
  
  $f(x) = q^x$
- Exemple
  La fonction $g : x \mapsto 3^x$ est une fonction exponentielle de base $3$ .
  
  La fonction $h : x \mapsto \left(\frac12\right)^x$ est une fonction exponentielle de base $\frac12$ .
- Remarque
  Attention : l'hypothèse $q>0$ est très importante !
- Propriété
  Continuité et signe de la fonction exponentielle de base $q$
  La fonction exponentielle de base $q$ est dérivable sur $R$ , et est donc aussi continue sur $R$ .
  
  $q^x > 0$ pour tout $x$ appartenant à $R$ (car $q>0$ ).
- Théorème
  Sens de variation de la fonction exponentielle de base $q$ selon la valeur de $q$
  Soit $f : x \mapsto q^x$ définie sur $R$ .
  3 cas :
  
  si $0 < q < 1$ , alors $f$ est décroissante sur $R$ ;
  
  si $q=1$ , alors $f$ est constante sur R (en effet, pour tout $x$ de $R$ , $f(x) = 1^x = 1$ ;
  
  si $q>1$ , alors $f$ est croissante sur $R$ .
- Exemple
  La fonction $h$ définie sur $R$ par $h(x) = \left(\frac12\right)^x$ est décroissante sur $R$ car $0< \frac12 < 1$ .
  
  La fonction $g$ définie sur $R$ par $g(x) = 2^x$ est croissante sur $R$ car $2 > 1$ .
- Théorème
  Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle
  Soit $q>0$ .
  Pour tous réels $x$ et $y$ :
  
  $q^{x+y} = q^x \times q^y$
- Remarque
  On dit que la fonction exponentielle « transforme » une somme en produits.
- Exemple
  $2^{x+1} = 2^x \times 2^1 = 2 \times 2^x$
  
  $10^{x^2+3}= 10^{x^2} \times 10^3 = 1000 \times 10^{x^2}$
- Propriété
  Propriétés de calculs sur les puissances
  De cette relation fonctionnelle découlent les propriétés suivantes sur les puissances.
  Soient $q>0$ , et $x$ , $y$ et $\alpha$ des réels.
  On a :
  
  $q^0 = 1$
  
  $q^{-x} = \frac{1}{q^x}$
  
  $q^{x-y} = \frac{q^x}{q^y}$
  
  $q^{\alpha x} = (q^x)^{\alpha}$
- Exemple
  $5^{-x} = \frac{1}{5^x} = \left(\frac15\right)^x$
  
  $2^{y-1} = \frac {2^y}{2^1} = \frac12 2^y$
- Définition
  Racine $n$ -ième de $q$
  Soit $q>0$ et $n$ un entier naturel non nul ( $n \neq 0$ ).
  On appelle racine $n$ ^e de $q$ le nombre réel :
  
  $q^{\frac1n}$
- Remarque
  Pour $n=2$ , on retrouve la racine carrée :
  
  $q^{\frac12} = \sqrt{q}$
- Propriété
  Racine $n$ -ième à la puissance $n$
  D'après la propriété sur les puissances vue plus haut, on a :
  
  $(q^{\frac1n})^n = q$

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Définition

Fonction exponentielle de base qqq

Exemple

Remarque

Propriété

Continuité et signe de la fonction exponentielle de base qqq

Théorème

Sens de variation de la fonction exponentielle de base qqq selon la valeur de qqq

Exemple

Théorème

Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle

Remarque

Exemple

Propriété

Propriétés de calculs sur les puissances

Exemple

Définition

Racine nnn-ième de qqq

Remarque

Propriété

Racine nnn-ième à la puissance nnn

Fonction exponentielle de base $q$

Continuité et signe de la fonction exponentielle de base $q$

Sens de variation de la fonction exponentielle de base $q$ selon la valeur de $q$

Racine $n$ -ième de $q$

Racine $n$ -ième à la puissance $n$