Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $C_f$ sa courbe représentative.

• La fonction $f$ est convexe sur $I$ signifie que la courbe $C_f$ est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.

La fonction carrée et la fonction exponentielle sont convexes sur $R$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $C_f$ sa courbe représentative.

• La fonction $f$ est concave sur $I$ signifie que la courbe $C_f$ est située entièrement en dessous de chacune de ses tangentes.

La fonction logarithme népérien est concave sur $]0 ; +\infty[$.

Une fonction peut être convexe sur un intervalle et concave sur un autre. Par exemple la fonction cube est concave sur $]-\infty ; 0]$ et convexe sur $[0 ; +\infty[$.

• Si $f$ et $g$ sont deux fonctions convexes sur $I$ alors $f + g$ est convexe sur $I$.
• Si $k$ est un réel strictement positif et $f$ une fonction convexe sur $I$ alors $kf$ est convexe sur $I$.
• Si $f$ est convexe sur $I$ alors $-f$ est concave sur $I$.

Les trois propriétés ci-dessus sont également vraies si on remplace « convexe » par « concave ».

Soit $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = 3e^x - \sqrt{x}$

• $f$ est convexe sur $[0 ; +\infty[$ par application des règles ci-dessus.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.

• $f$ est convexe sur $I$ si, et seulement si, sa fonction dérivée $f'$ est croissante sur $I$.
• $f$ est concave sur $I$ si, et seulement si, sa fonction dérivée $f'$ est décroissante sur $I$.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.
Si la fonction dérivée, $f'$ est elle aussi dérivable, on dit que $f$ est deux fois dérivable et on appelle dérivée seconde, notée $f''$, la dérivée de $f'$.

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

• Si la dérivée seconde est positive alors la fonction $f$ est convexe.
• Si la dérivée seconde est négative alors la fonction $f$ est concave.

Soit la fonction $f$ définie sur $R$ par $f(x)= x^3 - 3x^2$.

• $f$ est deux fois dérivable sur $R$.
• $f'(x)= 3 x^2- 6 x$ et $f''(x) = 6 x - 6=6(x-1)$.
• $f''(x)$ est du signe de $x-1$.
• $f$ est concave sur $]-\infty ; 1]$ et convexe sur $[1; +\infty[$.

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

On peut résumer (et même les enrichir car il s'agit d'équivalences) les deux propriétés précédentes grâce au tableau suivant, où les phrases d'une même ligne sont équivalentes.

$f$ convexe sur $I$	$f'$ croissante sur $I$	$f''$ positive sur $I$
$f$ concave sur $I$	$f'$ décroissante sur $I$	$f''$ négative sur $I$

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $C_f$ sa courbe représentative.
Un point d'inflexion de la courbe $C_f$ est un point où la courbe traverse sa tangente.

Un exemple « célèbre » est la fonction cube dont la courbe admet l'origine du repère comme point d'inflexion.

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et $C_f$ sa courbe représentative et un point $M (x_M;y_M)$ un point de la courbe.
Les conditions suivantes sont équivalentes :

• $C_f$ admet $M$ comme point d'inflexion.
• $f$ change de convexité en $M$.
• $f'$ change de sens de variation en $x_M$.
• $f''$ s'annule en $x_M$ en changeant de signe.

Soit la fonction $f$ définie sur $R$ par $f(x)= x^3-6x^2+3x+1$ et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

• $f$ est deux fois dérivable sur $R$ et $f''(x)=6 x - 12$
• $f''$, comme fonction affine, s'annule donc une seule fois en changeant de signe en $x=2$.
• Le point $M$ de coordonnées $(2;- 9)$ est donc le seul point d'inflexion de la courbe, comme on peut le vérifier sur sa représentation graphique.