Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $R$.
Dire que $f$ est continue sur $I$ signifie que sa courbe représentative peut être tracée en une seule fois sans lever le crayon (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou).

Dans l'image de gauche, on voit que  $f(x)$ peut être aussi proche que l'on veut de $f(a)$ à condition de prendre $x$ suffisamment proche de $a$. Alors que dans l'image de droite ceci est impossible. Il y a rupture du dessin et saut des valeurs.

Toute fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur cet intervalle.

Une fonction peut être continue sur $I$ sans être dérivable sur $I$. C'est le cas par exemple de la fonction valeur absolue continue sur $R$ et non dérivable en $0$.

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une solution unique $c$ appartenant à $[a;b]$.

Si $f$ n'est pas continue en un point, il se pourrait que $k$, bien que compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ne possède pas d'antécédent comme le montre l'illustration ci-dessous.

Si $f$ est continue mais pas strictement monotone alors $k$ peut avoir plusieurs antécédent dans $[a;b]$ et l'équation $f(x)=k$ a par conséquent plusieurs solutions. C'est cette situation (illustrée ci-dessous) qui porte le nom de « théorème des valeurs intermédiaires ».

Le théorème est encore valide si l'intervalle $[a;b]$ est ouvert ou semi-ouvert. De même si $a$ ou $b$ désigne $+\infty$ ou $-\infty$.

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires (ce qui se traduit aussi par $f(a) \times f(b) < 0$), alors l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $c$ appartenant à $[a;b]$.

En étudiant le tableau de variation ci-dessus (déjà donné plus haut), on remarque que :

• $f(1)=5$ et $f(6)=- 4$ donc $f(1)$ et $f(6)$ de signes contraires
• la fonction est continue et strictement décroissante sur $[1;6]$

Donc en appliquant la propriété à l'intervalle $[1;6]$, on peut dire :

• l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $c$ appartenant à $[1;6]$
• autrement dit : $f$ s'annule une seule fois sur l'intervalle $[1;6]$

Pour pouvoir conclure sur les autres intervalles de monotonie, il faudrait connaître le comportement de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.