Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, $a$ un réel appartenant à $I$ et  $C_f$ sa courbe représentative passant par le point $A$ de coordonnées $(a;f(a))$.

• La tangente à $C_f$ en $A$ est la droite de coefficient directeur $f'(a)$ et qui passe par le point $A$.

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$. Une équation de la tangente à la courbe représentative $C_f$ au point $A$ de coordonnées $(a;f(a))$ est :

• $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

Soient $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2$ sur $R$ et $C_f$ sa courbe représentative. On cherche à calculer l'équation de la tangente à $C_f$ au point de coordonnées $(1;f(1))$.

• $f'(x)=2x$ ;
• donc $f'(1) = 2 \times 1 = 2$.
• La tangente à $C_f$ au point d'abscisse $1$ est donc la droite d'équation :
  • $y = 2(x-1) +1 = 2x - 1$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Soit $J$ un sous-ensemble de $I$.

• Si $f' \geq 0$ sur $J$ alors $f$ est croissante sur $J$.
  • Si $f' > 0$ sur $J$ alors $f$ est strictement croissante sur $J$.

• Si $f' \leq 0$ sur $J$ alors $f$ est décroissante sur $J$.
  • Si $f' < 0$ sur $J$ alors $f$ est strictement décroissante sur $J$.

• Si $f' = 0$ sur $J$, alors $f$ est constante sur $J$.

Attention les réciproques de ces propriétés ne sont pas toujours vraies  !
Ainsi :

• si $f$ est dérivable et croissante sur $J$, alors $f' \geq 0$ sur $J$.

est une propriété vraie ;
mais :

• si $f$ est dérivable et strictement croissante sur $J$, alors $f' > 0$ sur $J$

est une propriété fausse comme on peut s'en convaincre à l'aide du contre-exemple de la fonction cube dont la dérivée s'annule en 0 et qui est pourtant strictement croissante sur $<strong>R$.
C'est précisément le sujet de la partie IV avec les notions de convexite et de point d'inflexion.

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f(x) = x^2 - x = x(x - 1)$.

• $f'$ est la fonction définie par $f'(x) = 2x - 1$ sur $R$.
• $f'(x) \leq 0$ pour $x \leq \frac{1}{2}$, donc $f$ est décroissante sur $]-\infty;\frac{1}{2}]$.
• $f'(x) \geq 0$ pour $x \geq \frac{1}{2}$, donc $f$ est décroissante sur $[\frac{1}{2};-\infty[$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un réel de $I$.

• Si $f$ admet un extremum local en $a$, alors $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe en $a$.
• Réciproquement, si $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe en $a$, alors $f$ admet un extremum local en $a$.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - x = x(x - 1)$ et dérivable sur $R$.

• $f'(x) = 2x - 1$
• $f'(\frac{1}{2})=0$ et $f'$ change de signe en $\frac{1}{2}$.
• Donc $f$ admet un minimum local en $\frac{1}{2}$.

Un tableau de variation est une façon de représenter le comportement (croissance / décroissance) d'une fonction sur son intervalle de définition. On y représente très souvent le signe de la fonction dérivée puisque c'est de lui qu'on déduit les variations de la fonction.

La convention est que « une flèche qui monte » représente la stricte croissance (de même, « une flèche qui descend » représente la stricte décroissance) et qu'une flèche sans interruption signifie que la fonction est continue (voir III ci-dessous).