Soit f la fonction dérivable sur chaque intervalle de son ensemble de définition et dont on a le tableau de variation.
1. Donne le nombre de solution de l'équation f(x)=0 ; 2. et résous f(x)<0.
0
0
Repérer les intervalles où f est continue et strictement monotone
f est continue et strictement croissante sur ]−5;2].
f est continue et strictement décroissante sur [2;3[ et sur ]3;+∞[.
1
1
En déduire les intervalles où f ne s'annule pas
Puisque f est strictement décroissante sur [2;3[, pour tout x∈[2;3[, on a f(x)>f(3)=1 donc f(x)=0.
2
2
Appliquer le théorème de cours aux situations du type f(a)×f(b)<0
Sur ]−5;2], f est continue et strictement monotone.
De plus, la limite de f en −5 et f(2) sont de signes contraires.
Donc il existe un seul réel α∈]−5;2] tel que f(α)=0.
Le même raisonnement sur ]3; \+infty[ prouve l'existence d'un unique β∈]3;+∞[ tel que f(β)=0
3
3
Conclure sur le nombre de solutions
L'équation f(x)=0 admet donc deux solutions (α et β).
4
4
Sur chaque intervalle de monotonie, utiliser le sens de variation de f et les éventuelles solutions de f(x)=0 pour déterminer le signe de f(x)
f est strictement croissante sur ]−5;2] et f(α)=0 avec α∈]−5;2] donc :
f(x)<0 sur ]−5;α[ ;
f(x)>0 sur ]α;2].
Le même raisonnement sur ]3;+∞[ permet de conclure que :
f(x)<0 sur ]3;β[ ;
f(x)>0 sur ]β;+∞].
Par ailleurs, f ne s'annulant pas sur [2;3[, on a :
f(x)>0 sur [2;3[.
On peut résumer tout ceci dans un tableau de signe .
Relier convexité de f et sens de variation de f′
Soit la fonction f définie sur R par f(x)=x5−2x4. Étudie la convexité de f.
0
0
Calculer f′(x) et f′′(x)
f est dérivable sur R et :
f′(x)=5x4−8x3
f′′(x)=20x3−24x2
1
1
Étudier le signe de f′′(x)
f′′(x)=20x3−24x2=4x2(5x−6)
puisque x2≥0 sur R, f′′(x) a le même signe que 5x−6 qui est négatif pour x<1,2 et positif pour $x>1,2.
2
2
En déduire le sens de variation de f′
On peut alors dresser le tableau de variation de f′ :
3
3
Conclure sur la convexité de f
Sur ]−∞;1,2], f′ est décroissante et f est donc concave.
Sur [1,2;+∞[, f′ est croissante et f est donc convexe.
4
4
Vérifier graphiquement
Les conclusions précédentes se retrouvent sur Cf qui est en-dessous de ses tangentes sur ]−∞;1,2] et au-dessus de ses tangentes sur [1,2;+∞[ (A étant le point d'inflexion de Cf, voir exercice ci-dessous).
Recherche de points d'inflexion
Soit la fonction f définie sur R par f(x)=x4−2x3 et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal. Détermine les coordonnées du ou des points d'inflexion de Cf s'il y en a.
0
0
Calculer f′(x) et f′′(x)
f′(x)=4x3−6x2
f′′(x)=12x2−12x
1
1
Déterminer quand f′′(x) s'annule en changeant de signe
f′′(x)=12x2−12x=12x(x−1)
f′′(x) s'annule et change de signe pour x=0 et x=1.
2
2
En déduire les coordonnées des points d'inflexion
Cf admet donc deux points d'inflexion :
le premier d'abscisse 0 est donc de coordonnées (0;0) ;
le seconde, d'abscisse 1, a pour coordonnées (1;−1).
3
3
Vérifier graphiquement
On constate qu'en effet Cf admet O et A comme points d'inflexion. En ces points la fonction change de convexité et la courbe traverse ses tangentes.