undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

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Formules et Théorèmes

À savoir refaire

Suites géométriques

Limite d’une suite géométrique

Suite arithmético-géométrique

Limite d’une suite géométrique

- Définition
  Suites convergente et divergente
  Une suite est dite :
  
  convergente si elle a pour limite un nombre fini ;
  
  divergente dans tous les autres cas.
- Remarque
  Soit une suite $(u_n)$ et $L$ un réel.
  
  Si $(u_n)$ converge vers $L$ , alors on note $\lim_{n \to +\infty}u_n = L$ .
  
  Si $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ , alors on note $\lim_{n \to +\infty}u_n = +\infty$ .
  
  Si $(u_n)$ diverge vers $-\infty$ , alors on note $\lim_{n \to +\infty}u_n = -\infty$ .
- Théorème
  Limite d’une suite géométrique de la forme $u_n=q^n$
  Soit $q > 0$ .
  
  Si $0<q<1$ , alors la suite géométrique de terme général $q^n$ converge vers 0 :
  
  $\lim_{n\to +\infty}q^n=0$ .
  
  Si $q>1$ , alors la suite géométrique de terme général $q^n$ a pour limite $+\infty$ :
  
  $\lim_{n\to +\infty}q^n=+\infty$ .
  
  Si $q=1$ , alors la suite géométrique de terme général $q^n$ a pour limite 1 :
  
  $\lim_{n\to +\infty}q^n= 1$ .
- Exemple
  $\lim_{n\to +\infty}3^n=+\infty$
  
  $\lim_{n\to +\infty}(0,5)^n=0$
- Propriété
  Limite d’une suite de la forme $u_n=u_0.q^n$
  Soit $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ non nul et de raison $q$ strictement positive.
  
  Si $0 < q < 1$ , alors la suite $\left( u_n \right)$ converge vers 0 :
  
  $\lim_{n\to +\infty}u_n= 0$ .
  
  Si $q = 1$ , alors la suite $\left( u_n \right)$ est constante et égale à $u_0$ .
  
  Si $q > 1$ , alors la suite $\left( u_n \right)$ admet une limite infinie avec :
  
  $\lim_{n\to +\infty}u_n=-\infty$ si $u_0 < 0$
  
  $\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$ si $u_0 > 0$