Soient $q$ un réel et $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$.

• $u_{n+1} = q \times u_{n}$

Pour connaître une suite géométrique, il suffit donc de connaître $q$ et $u_0$.

• Si $u_0=0$, alors tous les termes de la suite sont nuls !
• De même si $q=0$ ! Sauf peut-être pour $u_0$.

Soit $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$, alors pour tout entier naturel $n$ et tout entier naturel $p$, on a :

• $u_{n} = u_{p}\times q^{n-p}$

Pour tout $n$, on a :

• $u_{n} = u_{0} \times q^n$

Cette propriété est importante car elle permet de passer :

• d’une suite définie par récurrence ($u_{n+1} = q u_{n}$) ;
• à une suite définie par une fonction explicite ($u_{n+1}=f(n)$).

Cela permet de calculer un terme sans calculer tous ceux qui le précèdent.

Ainsi la suite des puissances de 2 évoquée ci-dessus devient la suite définie par $u_{n+1}=2^n$ pour tout entier naturel $n$.

La suite de terme général $u_n=q^n$ est :

• strictement croissante si $q>1$ ;
• strictement décroissante si $0<q<1$ ;
• ni croissante, ni décroissante si $q<0$.

On peut dire d'une suite qui est ni croissante ni décroissante, qu'elle est alternée.

Soit $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q$ non nulle et de premier terme $u_0$ non nul :

• Si $q < 0$, alors la suite $\left( u_n \right)$ n'est pas monotone.
• Si $q > 0$ et $u_0 > 0$, alors la suite $\left( u_n \right)$ a le même sens de variation que la suite $\left( q^n \right)$.
• Si $q > 0$ et $u_0 < 0$, alors la suite $\left( u_n \right)$ a le sens de variation contraire de celui de la suite $\left( q^n \right)$.

La suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2^n$ est :

• croissante ;
• $u_0=1$ et $q=2$.

La suite $(u_n)$ définie par $u_n =- \left(\frac{1}{3}\right)^n$ est :

• croissante ;
• $u_0=-1$ et $q=\frac{1}{3}$.

La suite $(u_n)$ définie par $u_n = (-2)^n$ est :

• alternée ($q<0$).

Soit un réel $q\neq1$.

• $1+q+q^2+q^3+ \cdots +q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Soit $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$ et de premier terme $u_0$ alors pour tout entier $n$ :

• $u_0 + u_{1} + \cdots + u_n = u_0 \left(\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right)$