Reconnaître et montrer qu’une suite est géométrique
En période de sécheresse, chaque année, une mare perd un vingtième de son contenu par évaporation par semaine. En début de période la mare contient 80 m3 d’eau. On note Vn le volume d’eau de la mare en m3 au bout de n semaines.
Ainsi V0=80.
1. Montre que (Vn) est une suite géométrique. 2. Calcule le volume d’eau en m3 (arrondi au dixième) de la mare au bout de 10 semaines.
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Traduire la diminution par un produit
Perdre un vingtième de sa valeur revient à diminuer de 5 % (201=1005).
Diminuer de 5 % revient à multiplier par 0,95 (car 1−0,05=0,95).
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Calculer V1 et V2
On a donc V1=0,95×80=76 et V2=0,95×76=72,2.
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Généraliser
De Vn à Vn+1 on perd un vingtième.
Or perdre un vingtième revient à multiplier par 0,95.
On a donc Vn+1=0,95×Vn.
Or V0=80.
Donc (Vn) est une suite géométrique de raison q=0,95 et de premier terme 80.
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Exprimer Vn en fonction de n
(Vn) étant une suite géométrique de raison q=0,95 et de premier terme 80, d’après la propriété du cours, on a :
Vn=(0,95)n×V0=(0,95)n×80
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Calculer un terme de la suite
En appliquant la formule précédente à n=10 (car « au bout de 10 semaines »), on a :
V10=(0,95)10×80≈47,9
Calculer la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique
Mathurin a gagné à un concours le prix suivant : au début on lui remet 1000 € et chaque premier jour du mois (jusqu’à la fin des temps) on lui remet la moitié de la somme du mois précédent. Mathurin est persuadé qu’il va rapidement faire fortune et envisage déjà de multiple achats.
Montre que Mathurin ne devrait pas être aussi enthousiaste !
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Reconnaître dans la situation une suite géométrique
La somme, initialement de 1000 € étant divisée chaque mois par 2, il s’agit donc d’une suite géométrique :
de raison 21 ;
de premier terme 1000.
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Définir des notations pour formaliser le problème
Soit un la somme que l’on remet à Mathurin le ne mois. Ainsi :
u0=1000 ;
pour tout entier naturel n, un+1=21un ;
(un) est donc une suite géométrique de raison q=21 et de premier terme u0=1000.
Soit Sn le capital que Mathurin a accumulé du début du jeu jusqu’au ne mois.
On a donc Sn=u0+u1+⋯+un.
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Utiliser la formule du cours sur la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique
Sn représente la somme des n+1 premiers termes de la suite géométrique (un). On a donc :
Sn=u0(1−q1−qn+1)=1000×1−0,51−(0,5)n+1.
Soit finalement Sn=2000(1−(0,5)n+1).
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Utiliser le résultat précédent pour calculer quelques Sn et faire déchanter Mathurin !
En appliquant le résultat précédent on trouve :
au bout d’un an : S12≈1999,76. Ce qui n’est pas si mal mais n’est pas vraiment une fortune…
Pire, au bout de trois ans S36≈2000 (plus précisément S36≈1999,99999998545 !). La fortune espérée semble stagner autour de 2000 €…
En effet, puisque 0<0,5<1, (0,5)n+1 tend vers 0 quand n tend vers +∞ et Sn tend donc vers 2000 !
La fortune de Mathurin vaudra donc au maximum (dans l’éternité) 2000 € !
Cette addition d’une infinité de termes qui donne une somme finie fût un problème célèbre de l’histoire de l’humanité. Elle est, par exemple, à la source des paradoxes de Zénon dans l’Antiquité.
Traduire une situation à l’aide d’une suite arithmético-géométrique
En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que : 10 % des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ; 20 nouvelles personnes s'inscrivaient au club. On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans. On désigne, pour tout n entier naturel, par an le nombre d’adhérents en 2005+n (ainsi a0=80).
Montre que pour tout entier naturel n, on a an+1=0,9an+20.
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Calculer a1 à partir de a0
Pour calculer a1 on diminue a0 de 10 % (multiplication par 0,9) puis on lui ajoute 20.
On a donc a1=0,9a0+20=72+20=92.
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Déterminer an+1 à partir de an
Chaque année le nombre d’adhérents diminue de 10 % donc il est mutiplié par 0,9 (voir rappel ci-dessus) et an devient 0,9×an.
De plus, il y a 20 nouveaux adhérents chaque année donc il faut ajouter 20 au nombre trouvé précédemment.
Ainsi pour tout entier naturel n :
an+1=0,9an+20
Nous sommes donc en présence d’une suite arithmético-géométrique (car du type un+1=aun+b avec a=0,9 et b=20).
Usage d’une suite auxiliaire dans l’étude d’une suite arithmético-géométrique
On considère la suite (an) définie par a0=80 et, pour tout entier naturel n,an+1=0,9an+20.
Pour tout entier naturel n, on pose : bn=an−200.
1. Démontre que (bn) est une suite géométrique ; précise sa raison et son premier terme. 2. Exprime bn en fonction de n. 3. Déduis-en que, pour tout entier naturel n, on a : an=200−120×0,9n. 4. Quelle est la limite de la suite (an) ?
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Démontrer que (bn) est géométrique
Pour tout entier naturel n :
bn+1=an+1−200=0,9an+20−200
Or an=bn+200
Donc bn+1=0,9(bn+200)−180=0,9bn+180−180=0,9bn
Donc la suite (bn) est géométrique de raison q=0,9. De plus b0=a0−200=80−200=−120, donc la suite est de premier terme b0=−120.
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Déterminer une expression simple de bn
D'après la propriété du cours, on peut dire que pour tout entier naturel n, bn=b0×qn=−120×0,9n.
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Déterminer une forme simple de an
Pour tout n, bn=−120×0,9n; or an=bn+200.
Donc pour tout entier naturel n, an=200−120×0,9n.
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Déterminer la convergence de (bn) et (an)
La suite (bn) est géométrique de raison 0,9. Or 0<0,9<1 ;
la suite (bn) est donc convergente ;
et a pour limite 0.
D'après les propriétés sur les limites de suites (voir ci-dessous), comme pour tout n, an=bn+200 :