Théorème
Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi $B(n;p)$.
Soit $F_n$ la fréquence associée à $X_n$ : $F_n=\frac {X_n}n$.
Soit $\alpha$ un réel de $]0;1[$.
Soit $u_{\alpha}$ l’unique réel tel que $P(-u_{\alpha}\leq N \leq u_{\alpha})=1-\alpha$, $N$ étant une variable aléatoire suivant la loi $N(0;1)$.

• $\lim_{n \to + \infty} P(F_n\in I_n)=1-\alpha$
• avec $I_n=\left[p-u_{\alpha}\frac {\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n};p+u_{\alpha}\frac {\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right]$

    Démonstration  

1. Stratégie

  L’énoncé parle d’une variable suivant une loi binomiale, et d’une autre suivant une loi normale centrée réduite. Il va falloir faire le lien entre les deux de façon à pouvoir utiliser toutes les hypothèses.
La formule de l’intervalle donné achève de nous convaincre d’utiliser le théorème de Moivre-Laplace.  

2. Appliquer le théorème de Moivre-Laplace

 

• $X_n$ suit la loi $B(n;p)$
• Posons $Z_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$.
• Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$.
• On sait alors, que si $N$ suit la loi $N(0;1)$, on a :
  • $\lim_{n \to +\infty}P(Z_n \in [a;b])=P(N \in [a;b])$

   

3. Faire intervenir $u_{\alpha}$

  Appliquons le résultat précédent en prenant $a=-u_{\alpha}$ et  $b=u_{\alpha}$:

• $\lim_{n \to +\infty}P(Z_n \in [-u_{\alpha};u_{\alpha}])=P(N \in [-u_{\alpha};u_{\alpha}])$

Et, par hypothèse, 

• $P(-u_{\alpha}\leq N \leq u_{\alpha})=1-\alpha$

Donc :

• $\lim_{n \to +\infty}P(Z_n \in [-u_{\alpha};u_{\alpha}])=1-\alpha$

 

4. Opérer les transformations nécessaires

  On a maintenant quasiment prouvé le résultat que nous voulions, il nous reste juste à prouver que le fait que $Z_n$ soit dans  $[-u_{\alpha};u_{\alpha}]$ est équivalent au fait que $F_n$ soit dans $I_n$.  

• $Z_n \in [-u_{\alpha};u_{\alpha}] \Rightarrow -u_{\alpha} \leq Z_n \leq u_{\alpha}$
• $\Rightarrow -u_{\alpha} \leq \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq u_{\alpha}$

Il ne faut pas oublier notre objectif : on veut avoir un encadrement de $F_n=\frac {X_n}n$. Commençons par isoler $X_n$ au milieu de l’encadrement, puis en divisant artificiellement par $n$, on devrait retomber sur le résultat recherché.

• $\Rightarrow -u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)} \leq X_n-np \leq u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)}$
• $\Rightarrow -u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)} + np \leq X_n \leq u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)} + np$

Divisons donc maintenant par $n$.

• $\Rightarrow -u_{\alpha}\frac{\sqrt{np(1-p)}}{n} + \frac{np}{n} \leq \frac{X_n}{n} \leq u_{\alpha}\frac{\sqrt{np(1-p)}}{n} + \frac{np}{n}$

Et en simplifiant :

• $\Rightarrow p-u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} \leq F_n \leq p+u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}$

Donc :

• $Z_n \in [-u_{\alpha};u_{\alpha}] \Rightarrow F_n \in I_n$ tel qu’il est défini dans l’énoncé.

   

5. Conclure

  Nous avons donc prouvé que

• $\lim_{n \to +\infty}P(Z_n \in [-u_{\alpha};u_{\alpha}])=1-\alpha$

Ce qui revient à prouver de manière équivalente que :

• $\lim_{n \to + \infty} P(F_n\in I_n)=1-\alpha$, avec $I_n=\left[p-u_{\alpha}\frac {\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n};p+u_{\alpha}\frac {\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right]$