Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi $B(n;p)$, $p$ connu.
Soit $F_n$ la fréquence associée à $X_n$ : $F_n=\frac {X_n}n$.
Soit $\alpha$ un réel de $]0;1[$.
Soit $u_{\alpha}$ l’unique réel tel que $P(-u_{\alpha}\leq N \leq u_{\alpha})=1-\alpha$, $N$ étant une variable aléatoire suivant la loi $N(0;1)$.

• $\lim_{n \to + \infty} P(F_n\in I_n)=1-\alpha$
• avec $I_n=\left[p-u_{\alpha}\frac {\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n};p+u_{\alpha}\frac {\sqrt{p(1-p}}{\sqrt n}\right]$

$I_n$ est appelé intervalle de fluctuation asymptotique de $F_n$ au seuil $1-\alpha$.
Il contient $F_n$ avec un probabilité d’autant plus proche de $1-\alpha$ que $n$ est grand.

Soit $\alpha$ un réel de $]0;1[$.
On connaît la probabilité $p$ d’apparition d’un caractère particulier.
On veut estimer la probable fréquence $f$ d’apparition de ce caractère au sein d’un échantillon de taille $n$.   Si on a simultanément :

• $n\geq 30$
• $np\geq 5$
• $n(1-p)\geq 5$

Alors :

• $P(f\in I_n) \approx 1-\alpha$

On notera bien qu’on est dans le cas d’une approximation : on peut seulement dire que $F_n$ a environ (si $n$ suffisamment grand) une probabilité de $1-\alpha$ de se trouver dans $I_n$.

On se souviendra que $u_{0,05} \approx 1,96$ (voir chapitre 11).
Ainsi, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $0,95$ est :

• $I_n=\left[p-1,96\frac {\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n};p+1,96\frac {\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right]$

Reprenons l’exemple de la cantine du collège.

• Le collège compte $250$ élèves mangeant à la cantine.
• On a $p=0,75$.
• Le responsable des achats privilégie le fait que tous les enfants qui souhaitent de la bûche puissent en avoir. Il ne veut pas prendre un risque plus élevé que $2,5$ %.
• $n=250>30$, $250\times 0,75 = 187,5 >5$, et $250\times (1-0,75) = 62,5 >5$ donc on est bien dans les conditions d’utilisation d’un intervalle de fluctuation asymptotique.
• L’intervalle de fluctuation au seuil de $0,95$ est $I_{250}=\left[0,75-1,96\frac {\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt {250}};0,75+1,96\frac {\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt {250}}\right] \approx [0,70 ; 0,80]$
• Il y a donc $5$ % de chances que la proportion d’élèves ne voulant pas de bûche ne soit pas dans cet intervalle : $2,5$ % de chances qu’il y en ait moins, $2,5$ % qu’il y en ait plus.
• Le responsable choisit donc d’acheter des bûches pour $80$ % des élèves, soit $0,8 \times 250=200$ bûches. Il ne prend un risque que de $0,025$ qu’il y ait plus de 200 élèves voulant de la bûche.
• Cela a permis d’éviter l’achat de $50$ bûches qui avaient $97,5$ % de chances de finir à la poubelle.

Comme il y a $\sqrt n$ au dénominateur, plus $n$ est grand, plus l’intervalle est réduit autour de $p$ : les résultats ont moins de risque de fluctuer si on prend un plus grand échantillon, ils seront donc plus fiables.

Dans le but d’estimer la probabilité $p$ d’apparition d’un certain caractère, on le teste sur un échantillon de taille $n$. On note $f$ la fréquence d’apparition du caractère dans l’échantillon étudié.

Si on a simultanément :

• $n \geq 30$
• $nf \geq 5$
• $n(1-f) \geq 5$

Alors :

• $P(p\in \left[f-\frac 1{\sqrt n};f+\frac 1{\sqrt n}\right])\geq 0,95$

Cet intervalle est appelé intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance $0,95$.

Reprenons l’exemple du sondage sur l’abstentionnisme.
L’étude se fait sur un échantillon de $n=1000$ personnes. La fréquence observée sur l’échantillon est de $0,195$.
L’intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion de français ayant l’intention de s’abstenir est donc :

• $\left[0,195-\frac 1 {\sqrt {1000}};0,195+\frac 1 {\sqrt {1000}}\right]=[0,163;0,227]$

On peut donc affirmer, avec un risque de se tromper inférieur à $0,05$, qu’entre $16,3$ % et $22,7$ % des français ont l’intention de s’abstenir.

Si maintenant on voulait estimer le taux d’abstention par un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ d’amplitude de $1$ %, il faudrait étudier un échantillon de taille $n$ telle que :

• $\frac 2{\sqrt n}=0,01$
• donc $n=(\frac2 {0,01} ) ^2=40000$

Il faudrait donc interroger $40000$ personnes pour obtenir une telle précision.