undefined - Fiche de révision Afterclasse

Déterminer un intervalle de fluctuation

Une usine fabrique des composants électroniques et les vend par lots de

200

.
Une étude sur le long terme a montré que l’usine fabriquait des composants défectueux avec une probabilité de

0,03

.
Le responsable qualité a décidé que les lots pour lesquels la borne supérieure de l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de

0,95

serait dépassée ne seraient pas commercialisés.
À partir de combien de composants défectueux dans un lot, celui-ci n'est-il pas commercialisé ?

0

Poser clairement les hypothèses et objectifs

Soit $X$ la variable aléatoire dénombrant les composants défectueux au sein d’un lot. Elle suit la loi binomiale $B(200;0,03)$ (on répète pour chaque lot $200$ fois une épreuve de Bernoulli de probabilité $0,03$ ).
Pour le calcul de l’intervalle de fluctuation, on prendra donc $n=200$ et $p=0,03$ .
Étant donné que l’on recherche l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $0,95$ , on prendra $\alpha = 0,05$ , et donc $u_{\alpha} \approx 1,96$ .

Nous allons commencer par calculer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de

0,95

, pour ensuite pouvoir conclure sur le nombre de composants défectueux entraînant la mise au rebut d’un lot.

1

Vérifier que les conditions de validité de l’intervalle de fluctuation sont remplies

$n=200\geq 30$
$np=200 \times 0,03 = 6 \geq 5$
$np=200 \times 0,97 = 194 \geq 5$

Les conditions sont donc bien réunies : on peut appliquer l’approximation des intervalles de fluctuation.

2

Calculer l’intervalle de fluctuation

Comme

\alpha = 0,05

, on a :

$I_n=\left[p-1,96\frac {\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n};p+1,96\frac {\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right]$

Soit, étant donné que

n=200

et

p=0,03

:

$I_n=\left[0,03-1,96\frac {\sqrt{0,03(1-0,03)}}{\sqrt {200}};0,03+1,96\frac {\sqrt{0,03(1-0,03)}}{\sqrt {200}}\right]$
$I_n=[0,0064;0,0536]$

3

Conclure

La borne supérieur de

I_n

est une fréquence.
Ainsi, la traduction de ce que souhaite le responsable qualité est que tout lot contenant plus de

5,36

% de composants défectueux ne soit pas commercialisé.
Cela représente

0,0536 \times 200=10,72

composants défectueux dans un même lot.

Ainsi, à partir de

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composants défectueux, le lot ne sera pas commercialisé.

Vérifier une hypothèse par de l’échantillonnage

Le propriétaire d’une piscine souhaite faire une étude pour mieux adapter ses horaires d’ouverture aux besoins de sa clientèle. Pour cela, il estime que

3

% de sa clientèle est formée de personnes âgées de plus de

70

ans.
Toutefois, afin d’être certain de ne pas se tromper, il préfère vérifier cette hypothèse.
Il mène donc une enquête sur un échantillon de

200

clients.
Cette enquête révèle qu'une seule personne interrogée est âgée de plus de

70

ans.
Ayant déjà une bonne idée du résultat, et souhaitant simplement la valider, il utilise la méthode des intervalles de fluctuation asymptotique au seuil

0,95

.
Cette méthode lui permet-elle de valider son hypothèse des

3

% ?

0

Poser clairement les hypothèses et objectifs

$p=0,03$
$n=200$
$f=\frac 1{200}=0,005$

Le but est de vérifier si $f$ se trouve effectivement dans l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil $0,95$ calculé à partir de l’hypothèse $p=0,03$ .

1

Calculer l’intervalle de fluctuation

On se référera pour cela à l’exercice précédent, qui a les mêmes valeurs numériques, et présente le calcul de l’intervalle de fluctuation.
Il ne faut surtout pas oublier l’étape de la vérification des conditions d’application des intervalles de fluctuation.
On obtient :

$I_n=[0,0064;0,0536]$

2

Conclure

La fréquence mesurée sur l’échantillon est de

0,005

.

$0,005<0,0064$
Elle est donc à l’extérieur de $I_n$ .

L’enquête ne permet donc pas de rendre vraisemblable l’hypothèse de départ. À partir de là, deux options s’offrent au gérant :

il peut effectuer d’autres enquêtes similaires pour voir si ce n’est pas simplement un manque de chance ;
sinon, il peut mener une estimation de la proportion de clients âgés de plus de 70 ans par la méthode des intervalles de confiance.

Estimer une proportion inconnue à partir d’un échantillon

Reprenons le cas précédent.
Suite à un résultat négatif, le gérant de la piscine souhaite estimer la proportions

p

de clients âgés de plus de

70

ans.
Lors de l’enquête précédente,

1

personne sur les

200

interrogées était âgée de plus de

70

ans.
Le gérant souhaite trouver l’intervalle de confiance de

p

de niveau de confiance

0,95

.
Détermine cet intervalle.

0

Poser clairement les hypothèses de l’énoncé

$n=200$
$f=\frac 1{200}=0,005$

On cherche à estimer

p

par son intervalle de confiance de niveau de confiance

0,95

.

1

Calculer l’intervalle de confiance

Le cours nous donne la formule suivante pour l’intervalle de confiance recherché :

$\left[f-\frac 1{\sqrt n};f+\frac 1{\sqrt n}\right]=\left[0,005-\frac 1{\sqrt 200}; 0,005+\frac 1{\sqrt n}\right]$
$=[-0,0657;0,0757]$

2

Conclure

Ainsi,

$P(p\in [-0,0657;0,0757])\geq 0,95$

Attention,

p

ne peut pas être négatif, donc on peut tronquer l’intervalle à 0 :

$P(p\in [0;0,0757])\geq 0,95$

Autrement dit,

p

a plus de

95

% de chances de se trouver entre

0

% et

7,57

%.

3

Remarque

Cet intervalle est très large, et n’aide donc pas beaucoup le gérant. Il faudrait qu’il fasse une enquête sur un plus grand échantillon afin d’avoir une idée plus précise de la proportion de personnes âgées de plus 70 ans parmi sa clientèle.

Déterminer une taille d’échantillon suffisante pour obtenir une précision donnée sur un intervalle de confiance au niveau de confiance 0.95

Reprenons encore le cas de notre gérant de piscine. Celui-ci n’est pas satisfait par l’intervalle de confiance précédent, qu'il trouve trop large.
Toujours dans le but d’estimer la proportion

p

de ses clients ayant plus de

70

ans, il souhaite savoir combien de personne il doit interroger afin d’obtenir un intervalle de niveau de confiance

0,95

de largeur

2

%.
Que lui conseillerais-tu ?

0

Énoncer la formule de cours

On sait que la largeur d’un intervalle de confiance de niveau de confiance

0,95

a pour largeur :

$\frac 2 {\sqrt n}$

Ici, on veut qu’elle vaille

0,02

.

1

Poser et résoudre l’équation

On cherche donc

n

tel que :

$\frac 2 {\sqrt n}=0,02$
$\Rightarrow \sqrt n=\frac 2 {0,02}$
$\Rightarrow n=(\frac 2{0,02})^2=10000$

2

Conclure

Le gérant devrait interroger

10000

personnes afin d’obtenir la précision qu’il souhaite.

À lui de comparer l'intérêt d'obtenir une telle précision et le coût d’une enquête de cette envergure...