Théorème :
Soit $\lambda$ un réel strictement positif.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

• $E(X)=\frac{1}{\lambda}$

  Démonstration :

1. Hypothèses et objectif

 

• Soit $\lambda$ un réel strictement positif.
• Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
• On définit l’espérance de $X$ de la manière suivante :

          $E(X)=\lim_{x \to +\infty} \ \int_0^x \ t \times \lambda e^{-\lambda t} dt$  
On veut montrer qu’alors, $E(X)=\frac{1}{\lambda}$. Il s’agit donc de calculer l’intégrale ci-dessus, puis d’en déterminer la limite quand $x$ tend vers $+\infty$.  

2. Recherche d’une primitive

 

• On pourra se référer à l’exercice 2 de la rubrique A savoir refaire, du chapitre 6 sur l’intégration qui explique comment trouver une primitive de la fonction définie sur $R$ par : $f(t)=te^t$.
  • Cet exercice nous donnait pour primitive de $f$ la fonction définie sur $R$ par $F(x)=te^t-e^t$.

 

• On cherche ici une primitive de la fonction définie sur $[0;+\infty[ par : g(t)=\lambda te^{-\lambda t}$.

          A un facteur $-\lambda$ près, on retrouve quasiment $f$.  

• Prenons donc $G(t)=-\lambda te^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}$ et calculons sa dérivée.

                    Pour tout $t \in [0;+\infty[$, on a :

• $G'(t)=\lambda^2 e^{-\lambda t}-\lambda e^{-\lambda t} + \lambda e^{-\lambda t}$
• $G'(t)=\lambda^2 t e^{-\lambda t}=\lambda g(t)$

• On ne retombe pas sur $g(t)$, mais sur $\lambda g(t)$, prenons donc $\frac {G(t)}{\lambda}$ pour primitive, et testons à nouveau.

            Pour tout $t \in [0;+\infty[$, on a :            
            $G(t)=- te^{-\lambda t}-\frac 1{\lambda}e^{-\lambda t}$            
            $G'(t)=\lambda t e^{-\lambda t}- e^{-\lambda t} + e^{-\lambda t}$                     
            $G'(t)=\lambda t e^{-\lambda t}=g(t)$  

• On a donc trouvé une primitive convenable pour calculer l’intégrale.

          Remarque : si tu te souviens de l’expression de $G(t)$ tu peux la donner directement et simplement vérifier que sa dérivée est bien $g(t)$.  

3. Calcul de l’intégrale

  $\int_0^x \ t \times \lambda e^{-\lambda t} dt=[- te^{-\lambda t}-\frac 1{\lambda}e^{-\lambda t}]_0^x$ $=- xe^{-\lambda x}-\frac 1{\lambda}e^{-\lambda x}+\frac 1{\lambda}$  

4. Passage à la limite et conclusion

À ce stade, on a donc : $E(X)=\lim_{x \to +\infty} \ - xe^{-\lambda x}-\frac 1{\lambda}e^{-\lambda x}+\frac 1{\lambda}$  
Or,

• $\lim_{x \to +\infty} \ - xe^{-\lambda x}=\lim_{X \to -\infty} \frac1{\lambda} Xe^X=0$ d’après les résultats de cours sur la croissance comparée (voir leçon sur la fonction exponentielle)
• $\lim_{x \to +\infty} \ -\frac 1{\lambda}e^{-\lambda x}=0$

  Donc on trouve bien : $E(X)=0+0+\frac 1{\lambda}=\frac 1{\lambda}$
 
  On a prouvé que l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ vaut $\frac 1{\lambda}$.

Théorème
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $N(0,1)$.
Soit $\alpha \in ]0,1[$.

• Il existe un unique réel positif $u_{\alpha}$ tel que $P(-u_{\alpha} \leq X \leq u_{\alpha})=1-\alpha$.

 Démonstration (exigible)

1. Hypothèses et stratégie

• $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $N(0,1)$.
• $\alpha$ est un réel de $]0,1[$.
• Posons $g$ la fonction définie sur $[0;+ \infty[$ par :

            $g(t)=P(-t \leq X \leq t)$
 
On veut prouver qu’il existe un unique $u_{\alpha}$ dans $[0;+ \infty[$ tel que $g(u_{\alpha})=1-\alpha$.
On parle d’unique antécédent d’une image donnée, ces notions doivent te faire penser immédiatement au théorème des valeurs intermédiaires. Pour pouvoir utiliser celui-ci, il nous faut prouver que notre fonction $g$ est strictement monotone sur $[0;+ \infty[$ et que ses images comprennent bien $]0;1[$, segment auquel appartient $1-\alpha$.    

2. Etude de $g$

  Comme $X$ suit la loi $N(0,1)$, on a, pour tout $t$ de $[0;+ \infty[$, $g(t)=\int_{-t}^{t}f(x)dx$ avec $f$ définie sur $R$ par                       $f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\times e^{-\frac{x^2}{2}}$.  

• On sait que $f$ est paire, donc l’aire sous la courbe à gauche de l’axe des ordonnées est égale à l’aire sous la courbe à droite de celui-ci, et on peut donc écrire :

            $g(t)=2\int_{0}^{t}f(x)dx$

• On reconnaît alors l’expression de la primitive de $f$ s’annulant en $0$ (voir la leçon sur l’intégration).
• On en déduit que, pour tout $t$ de $[0;+ \infty[$, $g'(t)=2f(t)$

• Or, $f$ étant la densité de la loi $N(0,1)$, $f$ est strictement positive sur $[0;+ \infty[$ (souviens-toi de sa représentation graphique).
• Donc, pour tout $t$ de $[0;+ \infty[$, $g'(t)>0$

• Donc $g$ est strictement croissante sur $[0;+ \infty[$.
• De plus, $g(0)=2\int_{0}^{0}f(x)dx=0$.
• Et d’autre part, $\lim_{t \to + \infty}g(t)=\lim_{t \to + \infty}\int_{-t}^{t}f(x)dx$ correspond à toute l’aire sous la courbe de $f$ sur $R$. Or, $f$ est une densité de probabilité, donc cette aire vaut par définition $1$. Donc $\lim_{t \to + \infty}g(t)=1$.

   

3. Application du théorème des valeurs intermédiaires

  On a prouvé que :

• $g$ est continue sur $[0;+ \infty[$ ;
• $g$ est strictement monotone sur $[0;+ \infty[$ ;
• ses images balayaient l’intervalle $[0;1[$.

On peut donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, qui affirme que, quelque soit le réel $\lambda \in [0;1[$, il existe un unique réel $u_{\lambda} \in [0;+ \infty[$ tel que $g(u_{\lambda})=\lambda$.  

4. Conclusion

Or, $0<\alpha<1 \Rightarrow -1<-\alpha<0$
$\Rightarrow 0<1-\alpha<1$.
Donc $1-\alpha \in [0;1[$ et donc il existe un unique réel $u_{\alpha}$ appartenant à $[0;+ \infty[$ tel que $g(u_{\alpha})=1-\alpha$.  

On a bien prouvé ce que l’on recherchait.