Soient $a$ et $b$ deux réels, $a<b$.
La loi uniforme sur l’intervalle $[a;b]$ est la loi de probabilité continue dont la densité est définie pour tout $t \in [a;b]$ par :

• $f(t)=\frac{1}{b-a}$

La loi uniforme sur $[1;3]$ a pour densité la fonction constante sur $[1;3]$ :

• $f(t)=\frac{1}{2}$

Soient $a$ et $b$ deux réels, $a<b$.
Soient $c$ et $d$ deux réels de $[a;b]$, $c\leq d$.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[a;b]$.

• $P(X\in [c;d])=\frac{d-c}{b-a}$

Si $X$ suit la loi uniforme sur $[1;3]$, on a :

• $P(X\in [1,5;2])=\frac{2-1,5}{3-1}=\frac{0,5}{2}=\frac14$

• Cela se retrouve facilement en calculant $\int_c^d \frac{1}{b-a} dx$.
• Étant donné que les probabilités sont uniformément réparties, calculer la probabilité que $X$ appartienne à l’intervalle $[c;d]$ revient à faire un rapport de proportion entre la taille de $[c;d]$ et $[a;b]$.

          Par exemple, si celui-ci représente la moitié de $[a;b]$, on a forcément $50$ % de chances (soit une probabilité de                       $\frac12$) que $X$ soit dans cet intervalle.

Soient $a$ et $b$ deux réels, $a<b$.
Soit X la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[a;b]$.
X a pour espérance :

• $E(X)=\frac{a+b}{2}$

Soit $\lambda$ un réel, $\lambda>0$.
La loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est la loi de probabilité continue dont la densité est définie pour tout $t\in [0;+\infty[$ par :

• $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$

$\frac{5}{2} \int_2^3 e^{-\frac{5}{2} t}dt$ représente donc $P(X\in [2;3])$ si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda=\frac52$.

Soit $a$ un réel, $a\geq 0$.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$.

• $P(X\leq a)=1-e^{-\lambda a}$

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\frac{1}{10}$.
Alors, $P(X\geq 5)=e^{- \frac1{10} \times 5}=e^{-\frac12} \approx 0,6$.
$X$ a $60$ % de chances d’être supérieur à $5$.

Ces formules restent valables en remplaçant les signes $\geq$ et $\leq$ par $>$ et $<$. Cela provient du fait que dans le cas des lois de probabilités continues, la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur particulière est nulle.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$.
On a, pour tous réels $t$ et $h$ positifs,

• $P_{(X\geq t)}(X\geq t+h)=P(X \geq h)$

Soit $\lambda$ un réel strictement positif.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre  $\lambda$.
X a pour espérance :

• $E(X)=\frac{1}{\lambda}$

Reprenons $X$ la variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\frac{1}{10}$.
Admettons que $X$ modélise la durée de vie d’une machine à laver en années.
La durée de vie moyenne d’une machine à laver est alors $E(X)=10$ ans.

Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $B(n;p)$.
On pose : $Z_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$.
Pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a<b$, on a :

• $\lim_{n \to +\infty}P(Z_n \in [a;b])=\int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$

L’idée derrière ce théorème est importante :

• cela signifie que quelle que soit la variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n;p)$ (donc comptant le nombre de succès lors de $n$ expériences indépendantes de Bernoulli de paramètre $p$), si on augmente suffisamment $n$, les résultats se répartissent sous une courbe en forme de « cloche ».
• De plus, si on effectue la transformation $Z_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ sur la variable aléatoire, quelque soit $p$, on se ramène à la même courbe en cloche centrée sur l’axe des ordonnées.

La loi de probabilité dont la densité correspond à cette « cloche » est la loi normale centrée réduite $N(0;1)$.

La loi normale centrée réduite $N(0;1)$ est la loi de probabilité continue dont la densité est définie pour tout $t$ réel par :

• $f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}$

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $N(0;1)$.
Pour tout réel $\alpha \in ]0;1[$, il existe un unique $u_{\alpha}$ réel positif tel que :

• $P(-u_{\alpha}\leq X \leq u_{\alpha})= 1-\alpha$

Pour $\alpha = 0,05$ et $0,01$ :

• $P(-1,96\leq X \leq 1,96)\approx 0,95$
• $P(-2,58\leq X \leq 2,58)\approx 0,99$

Ces deux valeurs sont à connaître.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $N(0;1)$.

• $E(X)=0$
• $V(X)=1$

Soient $m$ et $\sigma$ deux réels, $\sigma>0$.

• Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $N(m;\sigma ^2)$ si et seulement si $\frac{X-m}{\sigma}$ suit la loi $N(0;1)$.

• Soit $X$ une variable aléatoire de densité la fonction $f$ définie sur $R$ par : $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{(x-3)^2}{2}}$.
• $X$ suit en fait la loi $N(3;1)$.
• En effet, si on pose $y=\frac {x-3}{1}$, on obtient :

          $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{y^2}{2}}$.

• Ceci correspond bien à la densité de la loi $N(0;1)$.

Globalement, les lois normales $N(m;\sigma ^2)$ sont représentées par des « cloches » similaires à celle de la loi centrée réduite, mais décentrées, et plus ou moins amples. Le changement de variable $\frac{X-m}{\sigma}$ permet de ramener cette « cloche » à celle de la loi centrée réduite.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $N(m;\sigma ^2)$.
On a :

• $P(m - \sigma \leq X \leq m + \sigma)\approx 0,683$
• $P(m - 2\sigma \leq X \leq m + 2\sigma)\approx 0,954$
• $P(m - 3\sigma \leq X \leq m + 3\sigma)\approx 0,997$

Reprenons $X$ la variable aléatoire suivant la loi $N(3;1)$.

• $P(3 - 2\times 1 \leq X \leq 3 + 2 \times 1)=P(1 \leq X \leq 5)\approx 0,954$

$X$ peut prendre toutes les valeurs réelles, mais a plus de $95$ % de chances d’être compris entre $1$ et $5$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $N(m;\sigma ^2)$.

• $E(X)=m$
• $V(X)=\sigma^2$