Soient $a$ et $b$ deux réels, $a<b$.
On appelle densité de probabilité sur $[a;b]$ une fonction $f$

• continue sur $[a;b]$ ;
• positive sur $[a;b]$ ;
• telle que $\int_a^bf(t)dt=1$.

La fonction constante $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=1$ est une densité de probabilité.

• elle est bien continue et positive sur $[0;1]$ ;
• son intégrale entre $0$ et $1$ (aire sous la courbe) vaut bien $1$.

Soient $a$ et $b$ deux réels, $a<b$.
Soit $f$ une densité de probabilité sur $[a;b]$.
On définit alors la variable aléatoire $X$ de densité de probabilité $f$ comme la variable aléatoire à valeurs dans $[a;b]$ suivant la loi de probabilité continue donnée par :

• pour tous réels $c$ et $d$ tels que $a \leq c \leq d \leq b$, $P(X \in [c,d])=\int_c^d f(t)dt$

Graphiquement, la probabilité $P(X \in [c,d])$ est donc égale à l’aire sous la courbe de $f$ entre les bornes $c$ et $d$.

Reprenons l’exemple précédent. Soit $f$ la fonction constante égale à 1, et $X$ la variable aléatoire de densité $f$ sur $[0;1]$.

• Alors $P(X \in \left[\frac14,\frac12\right])=\int_{\frac14}^{\frac12} f(t)dt=[t]_{\frac14}^{\frac12}=\frac12-\frac14=\frac14$

Il faut bien comprendre la différence entre une variable aléatoire discrète, qui peut prendre un nombre fini de valeurs (par exemple, le résultat d’un lancer de dé), et une variable aléatoire à densité de probabilité qui peut prendre une infinité de valeur au sein d’un certain intervalle (par exemple, le poids d’un objet).

Soient $a$ et $b$ deux réels, $a<b$.
Soit $X$ une variable aléatoire ayant $f$ pour densité de probabilité sur $[a;b]$.
Pour tout $c \in [a;b]$, on a :

• $P(X=c)=\int_c^c f(t)dt=0$

Ce résultat peut paraître étonnant. Mais dans le cas de lois de probabilités continues, comme il y a une infinité d’issues possibles, la probabilité d’une issue en particulier est nulle.

Si on prend un français au hasard, la probabilité qu’il mesure exactement 1,72 m est nulle, par contre, la probabilité que sa taille soit comprise dans l’intervalle $[1,719 ; 1,721]$ est non-nulle.

Soient $a$ et $b$ deux réels, $a<b$.
Soit $X$ une variable aléatoire ayant $f$ pour densité de probabilité sur $[a;b]$.
L’espérance mathématique de $X$ vaut :

• $E(X)=\int_a^b xf(x)dx$

Il faut voir cette formule comme l’équivalent, pour les lois à densité, de la formule applicable aux variables aléatoires discrètes :
$E(X)=\sum_{k=1}^n x_k p(X=x_k)$

Si on reprend encore l’exemple de la fonction constante égale à 1,

• $E(X)=\int_0^1 x \times 1dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac12$.