Prouver qu’une fonction est une densité de probabilité
Soit f la fonction définie sur [1;e31] par :
f(t)=t3
Prouve que f est une densité pour une loi de probabilité sur [1;e31].
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0
Poser clairement les hypothèses et objectifs
f est définie sur [1;e31] par : f(t)=t3
On veut montrer que :
f est continue et positive sur [1;e31]
∫1e31f(t)dt=1
1
1
Justifier continuité et positivité
f est continue sur [1;e31] en tant que fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout t∈[1;e31], on a :
t>0, donc f(t)=t3>0
f est bien continue et positive sur [1;e31].
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Calculer l’intégrale
Il faut commencer par trouver une primitive de f sur [1;e31].
Le cas présent n’est pas compliqué, on sait que ln est une primitive de la fonction inverse, donc ici, on trouve une primitive de f facilement : la fonction F définie sur [1;e31] par : F(t)=3lnt
On peut alors calculer l’intégrale :
∫1e31f(t)dt=[3lnt]1e31=3lne31−0=3×31=1
3
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Conclure
f est donc continue et positive sur [1;e31], et son intégrale sur ce même intervalle vaut 1, f est donc une densité pour une loi de probabilité sur [1;e31].
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Variante
Certains exercices peuvent présenter la démarche inverse : on te demandera de trouver un réel a tel que f soit une densité de probabilité sur [0;a] par exemple. Tu calculeras alors l’intégrale en fonction de a, et tu trouveras la valeur de a pour laquelle celle-ci vaut 1.
Tu peux t’entraîner à le faire ici : prends la même fonction f et essaie de déterminer a tel que f soit une densité de loi de probabilité sur [1;a]. Tu dois trouver e31.
Dans tous les cas n’oublie surtout pas de vérifier la continuité et la positivité de la fonction !
Calculer des probabilités à partir d’une loi de densité
Soit f la fonction définie sur [1;e31] par : f(t)=t3 Soit X une variable aléatoire de densité f sur [1;e31].
Traduire l’énoncé en mathématiques, et mobiliser les notions en jeu
Commencer la résolution d’un exercice par un bilan des notions du cours qui sont en jeu te permet d’une part de construire une stratégie de résolution de l’exercice, d'autre part d’être plus serein(e) face à l’exercice, qui ne te semble alors plus si insurmontable.
f est la densité de la variable aléatoire X sur [1;e31], cela signifie que pour tous réels a et b dans [1;e31], a<b, on a :
P(a≤X≤b)=∫abf(t)dt
Pour la question 2, on se souviendra de la formule principale de la leçon sur les probabilités conditionnelles qui affirme que, si A et B sont deux évènements, p(A)=0, alors
p(A∩B)=p(A)×pA(B)
Enfin, la dernière question mentionne la notion d'« évènements indépendants », on se rappellera alors que si deux évènements A et B sont indépendants, alors :
Faire intervenir la notion de probabilité conditionnelle
D’après la formule de cours : p(X≥1,1∩X≥1,2)=P(X≥1,1)×P(X≥1,1)(X≥1,2)
⇒P(X≥1,1)(X≥1,2)=P(X≥1,1)p(X≥1,1∩X≥1,2)
p(X≥1,1∩X≥1,2)=p(X≥1,2)=1−3ln1,2 car si X est supérieur à 1,2, X est forcément supérieur 1,1.
P(X≥1,1)=1−3ln1,1 en suivant les mêmes étapes de calcul qu’au point 2.
On obtient donc, en remplaçant : P(X≥1,1)(X≥1,2)=1−3ln1,11−3ln1,2≈0,63.
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Tester l’indépendance des évènements
On a vu que :
P(X≥1,1)(X≥1,2)≈0,63
P(X≥1,2)≈0,45
On constate que P(X≥1,1)(X≥1,2)=P(X≥1,2) donc (X≥1,2) et (X≥1,1)ne sont pas indépendants.
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Remarque
Un bon réflexe est de conserver les valeurs exactes jusqu’au bout, de ne pas utiliser les approximations calculées à l’étape précédente pour faire le calcul de l’étape suivante. Cela permet de limiter l’erreur due aux approximations. Ici, par exemple, on reprend à chaque fois 1−3ln1,2 au lieu de 0,45.
Exploiter une loi exponentielle
Nous nous intéressons à un atome radioactif. Sa durée de vie en milliers d’années avant désintégration est modélisée par une variable aléatoire T suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Une donnée importante en radioactivité est la demi-vie des particules. Cela représente la durée au bout de laquelle la probabilité que la particule étudiée se soit désintégrée vaut 0,5. On sait ici que notre atome radioactif a une demi-vie t1/2=3 milliers d’années.
1. Que vaut le paramètre λ ? 2. Quelle est la probabilité que l’atome se soit désintégré avant 8000 ans ? 3. Au bout de combien d’années l’atome a-t-il 99 % de chances de s’être désintégré ? 4. Sachant qu’un atome est encore entier au bout de 2500 ans, quelle est la probabilité qu’il ne se désintègre pas au cours des 8000 années qui suivent ?
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Traduire mathématiquement les données de l’énoncé, ainsi que les questions :
On sait que :
pour tout α réel positif, P(T≥α)=e−λα car X suit une loi exponentielle de paramètre λ.
P(T≥3)=0,5 car t1/2=3
On cherche :
λ
P(T≤8)
α réel positif tel que P(T≤α)=0,99
P(T≥2,5)(T≤10,5)
Attention pour ce dernier point : on sait que l’atome a survécu 2500 ans, on cherche la probabilité qu’il se désintègre dans les 8 milliers d’années qui suivent, donc que sa durée de vie soit inférieure à 2500+8000=10500 ans, et non 8000 ans.
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Déterminer λ
P(T≥3)=0,5⇒e−3λ=0,5
Il faut alors passer au logarithme de façon à « sortir » le λ de l’exponentielle. On a alors :
ln(e−3λ)=ln(0,5)
⇒−3λ=ln(21)
Or, selon les propriétés du logarithme népérien, ln(21)=−ln2.
⇒λ=−31×−ln2
⇒λ=31ln2≈0,23
Comme dans l’exercice précédent, pour les calculs suivants, on utilisera la valeur exacte 31ln2 et non l’approximation.
Il est conseillé, après avoir résolu une équation comme celle-ci, de vérifier au brouillon son résultat : e−3λ=e−3×31ln2=e−ln2=eln21=21=0,5 C’est bon !
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Déterminer P(T≤8) :
Attention au sens du signe : ici on cherche la probabilité que la durée de vie soit inférieure à 8000 ans. Pour cela on utilise la relation suivante :
P(T≤8)=1−P(T≥8)
=1−e−8×31ln2
≈0,84
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Déterminer α
La démarche est la même que pour le point précédent, mais dans l’autre sens. On sait que :
P(T≤α)=0,99
C’est-à-dire que :
1−e−31ln2×α=0,99
Il s’agit donc de résoudre cette équation. On garde le réflexe du passage au logarithme pour faire sortir l’inconnue de l’exponentielle, et on garde en tête les propriétés du logarithme qui permettent de simplifier grandement les résultats.
⇒e−31ln2×α=1−0,99=0,01
⇒ln(e−31ln2×α)=ln0,01
⇒−31ln2×α=ln(1001)=−ln100
⇒ln2×α=3ln100
⇒α=ln23ln100≈19,9 milliers d’années.
Ne pas oublier de conclure : au bout d’environ 20000 ans, l’atome a 99 % de chances de s’être désintégré.
Ici encore, il est conseillé de vérifier son résultat au brouillon : e−31ln2×ln23ln100=e−ln100=eln1001=1001=0,01 C’est bon !
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Déterminer P(T≥2,5)(T≤10,5)
Dès qu’un énoncé mélange loi exponentielle avec des notions de probabilités conditionnelles, il faut tout de suite te référer à la notion de loi de durée de vie sans vieillissement.
P(T≥t)(T≥t+h)=P(T≥h)
Ramenons-nous donc à une formule similaire :
P(T≥2,5)(T≤10,5)=1−P(T≥2,5)(T≥10,5)
On applique alors la formule :
P(T≥2,5)(T≥10,5)=P(T≥8)
D’où :
P(T≥2,5)(T≤10,5)=1−P(T≥8)=P(T≤8)
Et donc, en réutilisant le résultat de l'étape 3 de cet exercice :
P(T≥2,5)(T≤10,5)=1−e−8×31ln2≈0,84
Utiliser la parité de la loi normale
La taille d’un individu pris au hasard dans une certaine population suit une loi normale de moyenne 1,70 m et d’écart-type 9 cm. Quelle est la proportion d’individus mesurant plus de 1,88 m ?
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Traduire mathématiquement l’énoncé
Soit T la variable aléatoire représentant la taille d’un individu en mètres.
T suit la loi N(1,7;0,0081).
Attention à ne pas oublier qu’on note N(m;σ2) et non N(m;σ).
On cherche : P(T≥1,88).
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Trouver la formule de cours correspondante
Tu ne connais pas beaucoup de choses sur la loi normale, qui est difficile à étudier directement. Le premier réflexe est donc de chercher parmi les approximations données dans le cours :
on reconnaît ici que 1,88=1,7+2×0,09=m+2σ,
et le cours nous donne : P(m−2σ≤T≤m+2σ)≈0,954.
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Faire intervenir la parité de la fonction
Le cours ne nous donne que des intervalles centrés sur m, alors qu’ici on travaille sur un intervalle asymétrique : [1,88;+∞[. Pour cela il faut penser à mettre en jeu les propriétés de symétrie de la loi normale. Par symétrie de la loi normale autour de m (n’hésite pas à t’aider d’un schéma) :
P(T≥1,88)=P(T≥m+2σ)=21P(T∈]−∞;m−2σ]∪[m+2σ;+∞[)
Ramenons-nous alors à l’intervalle que nous connaissons, qui est le complémentaire :
P(T≥1,88)=21×(1−P(T∈]m−2σ;m+2σ[))
N’oublions pas que dans le cas des lois à densité continues, la probabilité d’une valeur en particulier est nulle, et que donc la probabilité d’un intervalle ouvert est la même que celle d’un intervalle fermé.
P(T≥1,88)=21×(1−P(T∈[m−2σ;m+2σ]))
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Application numérique et conclusion
Alors, d’après le cours :
P(T≥1,88)≈21×(1−0,954)
P(T≥1,88)≈0,023
Seulement 2,3 % des individus mesurent plus de 1,88 m.
Déterminer les paramètres à partir de probabilités
La taille d’un individu pris au hasard dans une certaine population suit une loi N(m;σ2). On sait que 99,7 % des individus de cette population mesurent plus de 1,30 m et moins de 1,90 m. Détermine m et σ.
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Traduire mathématiquement l’énoncé
Soit T la variable aléatoire représentant la taille d’un individu en mètres.
T suit la loi N(m;σ2).
P(1,3≤T≤1,9)=0,997
On cherche m et σ.
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Se ramener aux formules de cours
On reconnaît directement la donnée 0,9985. En effet le cours affirme que :
P(m−3σ≤T≤m+3σ)≈0,997.
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Poser et résoudre les équations qui en découlent
On en déduit le système d’équations :
1,3=m−3σ
1,9=m+3σ
Alors, en additionnant les deux équations :
3,2=2m⇒m=1,60 m.
Et donc en reportant dans la première équation :
1,3=1,6−3σ⇒3σ=1,6−1,3=0,3
⇒σ=30,3=0,10 m.
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Vérifier
Après avoir résolu un système d’équations, pense à vérifier que tu n’as pas fait d’erreur.
1,6−3×0,1=1,3 Ok.
1,6+3×0,1=1,9 Ok.
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Conclure
La taille des individus de cette population suit une loi N(1,60;0,01).
Attention à bien mettre σ au carré.
Les individus mesurent en moyenne 1,60 m, avec un écart type de 10 centimètres.
Se ramener à la loi centrée réduite
La taille d’un individu pris au hasard dans une certaine population suit une loi N(1,6;0,01). Déterminer, en exploitant les résultats sur la loi normale centrée réduite, l’intervalle centré sur 1,6 dans lequel la taille d’un individu pris au hasard a 95 % de chances de se trouver.
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Traduire mathématiquement l’énoncé et identifier la notion de cours en jeu
Soit T la variable aléatoire représentant la taille d’un individu en mètres.
T suit la loi N(1,6;0,01).
On cherche α tel que : P(1,6−α≤T≤1,6+α)=0,95
On sait que, si X suit une loi N(0;1), alors P(−1,96≤X≤1,96)=0,95.
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Se ramener à une loi centrée réduite
T suit la loi N(1,6;0,01), donc 0,1T−1,6 suit la loi centrée réduite N(0;1). Attention, ne pas oublier que l’énoncé indique la variance σ2 et non directement l’écart-type σ : σ=0,01=0,1.
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Appliquer la formule de cours
P(−1,96≤0,1T−1,6≤1,96)=0,95
Il nous suffit alors de réarranger l’inéquation, et on a la réponse !
−1,96≤0,1T−1,6≤1,96⇒−0,196≤T−1,6≤0,196
⇒1,404≤T−1,6≤1,796
Donc, en remplaçant :
P(1,404≤T−1,6≤1,796)=0,95
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Conclure
T a donc 95 % de chances de se trouver dans l’intervalle [1,404;1,796].