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Formules et Théorèmes
À savoir refaire
1
Généralités sur les lois à densité
2
Lois à densité usuelles
Démonstrations
Formules et Théorèmes

  • Densité de probabilité

    Soient aa et bb deux réels, a<ba<b.
    Soit ff une fonction définie sur [a;b][a;b].
    ff est une densité de probabilité sur [a;b][a;b] si, et seulement si :
    ff est continue et positive sur [a;b][a;b], et
    ∫abf(t)dt=1\int_a^bf(t)dt=1

  • Variable aléatoire à densité et probabilité

    Soient aa et bb deux réels, a<ba<b.
    Soient cc et dd deux réels tels que a≤c≤d≤ba \leq c \leq d \leq b.
    Soit XX une variable aléatoire de densité de probabilité ff sur [a;b][a;b].
    P(X∈[c,d])=∫cdf(t)dtP(X \in [c,d])=\int_c^d f(t)dt
    P(X=c)=0P(X =c)=0

  • Variable aléatoire à densité et espérance

    Soient aa et bb deux réels, a<ba<b.
    Soit XX une variable aléatoire ayant ff pour densité de probabilité sur [a;b][a;b].
    E(X)=∫abtf(t)dtE(X)=\int_a^b tf(t)dt

  • Loi uniforme

    Soient aa et bb deux réels, a<ba<b.
    Soient cc et dd deux réels tels que a≤c≤d≤ba \leq c \leq d \leq b.
    Soit XX une variable aléatoire suivant une loi uniforme de densité ff sur [a;b][a;b].
    f(t)=1b−af(t)=\frac{1}{b-a}

    P(X∈[c;d])=d−cb−aP(X\in [c;d])=\frac{d-c}{b-a}

    E(X)=a+b2E(X)=\frac{a+b}{2}

  • Loi exponentielle

    Soit λ\lambda un réel strictement positif.
    Soit aa un réel positif.
    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda et de densité de probabilité ff sur [0;+∞[[0;+\infty[.
    f(t)=λe−λtf(t)=\lambda e^{-\lambda t}
    P(X≥a)=e−λaP(X\geq a)=e^{-\lambda a}
    E(X)=1λE(X)=\frac{1}{\lambda}

  • Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement

    Soit λ\lambda un réel strictement positif.
    Soient tt et hh deux réels positifs.
    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda.
    P(X≥t)(X≥t+h)=P(X≥h)P_{(X\geq t)}(X\geq t+h)=P(X \geq h)

  • Théorème de Moivre-Laplace

    Soient nn et pp deux entiers naturels, p∈[0;1]p\in [0;1].
    Soient aa et bb tels que a<ba<b.
    Soit XnX_n une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p)B(n;p).
    Soit Zn=Xn−npnp(1−p)Z_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}
    lim⁡n→+∞P(Zn∈[a;b])=∫ab12πe−t22dt\lim_{n \to +\infty}P(Z_n \in [a;b])=\int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt

  • Loi normale centrée réduite

    Soit XX une variable aléatoire suivant  la loi normale centrée réduite N(0;1)N(0;1) et de densité de probabilité ff sur RR.
    f(t)=12πe−t22f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}

    P(−1,96≤X≤1,96)≈0,95P(-1,96\leq X \leq 1,96)\approx 0,95
    P(−2,58≤X≤2,58)≈0,99P(-2,58\leq X \leq 2,58)\approx 0,99

    E(X)=0E(X)=0
    V(X)=1V(X)=1

  • Loi normale N(m;σ2)N(m;\sigma^2)

    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(m;σ2)N(m;\sigma^2) et de densité de probabilité ff sur RR.
    X−mσ\frac{X-m}{\sigma} suit la loi N(0;1)N(0;1)

    P(m−σ≤X≤m+σ)≈0,683P(m - \sigma \leq X \leq m + \sigma)\approx 0,683
    P(m−2σ≤X≤m+2σ)≈0,954P(m - 2\sigma \leq X \leq m + 2\sigma)\approx 0,954
    P(m−3σ≤X≤m+3σ)≈0,997P(m - 3\sigma \leq X \leq m + 3\sigma)\approx 0,997

    E(X)=mE(X)=m
    V(X)=σ2V(X)=\sigma ^2
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