Théorème :
Soient $A$ et $B$ deux évènement indépendants.
$\bar A$ et $B$ sont alors aussi indépendants.

  Démonstration :
On veut montrer que $p(\bar A\cap B)=p(\bar A)\times p(B)$.

D'après le cours, on sait que :

• $p(\bar A\cap B)=p(B) \times p_B(\bar A)$

Or $p_B(\bar A)=1-p_B(A)$ (par définition de l’évènement contraire). D’où :

• $p(\bar A\cap B)=p(B) \times (1-p_B(A))$

A et B étant indépendants, on a : $p_B(A)=p(A)$. D’où :

• $p(\bar A\cap B)=p(B) \times (1-p(A)) = p(B) \times p(\bar A)$

  Ainsi, on a prouvé que $p(\bar A\cap B)=p(\bar A)\times p(B)$, ce qui signifie que $\bar A$ et $B$ sont deux évènements indépendants.