Une loi de probabilités discrète associe aux diverses valeurs $x_i$ possibles d’une variable aléatoire $X$ les probabilités $p(X=x_i)$ correspondantes. Elle prend la forme d’un tableau.

 

$x_1$	$x_2$	...	$x_i$	...	$x_n$
$p(X=x_1)$	$p(X=x_2)$	...	$p(X=x_i)$	...	$p(X=x_n)$

Pour un lancer de dé, la variable aléatoire est le résultat du lancer.
On a $6$ valeurs possibles, chacune ayant pour probabilité $\frac{1}{6}$ : c’est une loi équiprobable.

   

Résultat du lancer de dé	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Probabilité correspondante	$\frac 16$	$\frac 16$	$\frac 16$	$\frac 16$	$\frac 16$	$\frac 16$

On considère une variable aléatoire discrète $X$, à valeurs dans $\{x_1, x_2, \cdots, x_n\}$.
Son espérance, sa variance et son écart-type sont définis par :

• $E(X)=x_1p(X=x_1)+\cdots+x_np(X=x_n)=\sum_{k=1}^n x_k p(X=x_k)$
• $V(X)=(x_1-E(X))^2p(X=x_1)+\cdots+(x_n-E(X))^2p(X=x_n) =\sum_{k=1}^n (x_k-E(X))^2 p(X=x_k)$
• $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

Soient $a$ et $b$ deux réels, $X$ une variable aléatoire discrète.

• $E(aX+b)=aE(x)+b$
• $V(aX+b)=a^2 V(x)$

On appelle une épreuve de Bernoulli une expérience n’ayant que deux issues possibles : succès ou échec.

• Le paramètre $p$ de l’épreuve de Bernoulli est la probabilité de l’évènement « succès ».
• L’évènement « échec » a donc pour probabilité $1-p$.

L’expérience « pile ou face » est une épreuve de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$.

Soit X une variable aléatoire discrète suivant une loi de Bernoulli.

• $E(X)=p$
• $V(X)=p(1-p)$

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels, $k \leq n$ et $n \ne 0$.
${n \choose k}$ est un coefficient binomial.

• On le lit « $k$ parmi $n$ ».
• Il dénombre les combinaisons possibles de $k$ éléments parmi $n$.

${4 \choose 2}$ est le nombre de combinaisons de $2$ éléments choisis parmi un ensemble de $4$ éléments.

• ${4 \choose 2} = 6$

Dans les cas simples, un coefficient binomial peut se calculer à la main, mais dans la majorité des cas il vaut mieux s’assurer de ne rien oublier en le calculant directement à la calculatrice.

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels, $k \leq n$ et $n \ne 0$.

• ${n \choose 0}={n \choose n}=1$
• ${n \choose 1}={n \choose n-1}=n$
• ${n \choose k}={n \choose n-k}$

La dernière formule peut se comprendre facilement :

• choisir $k$ éléments parmi $n$ revient à ne pas choisir les autres $n-k$ éléments.
• Ainsi, à chaque combinaison de $k$ éléments parmi $n$ correspond une combinaison de $n-k$ éléments.

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels, $k \leq n$ et $n \ne 0$.

• ${n+1 \choose k+1}={n \choose k}+{n \choose k+1}$

Cette formule permet de construire de proche en proche le Triangle de Pascal rassemblant tous les coefficients binomiaux : chaque coefficient s’obtient simplement en sommant la case du dessus avec celle du dessus, à gauche.

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels,$n \ne 0$.
Soit $X$ la variable aléatoire dénombrant les succès lors de la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p$ (on parle de schéma de Bernoulli).

• On dit alors que $X$ suit la loi binomiale $B(n;p)$.

L’expérience consistant à lancer $8$ fois une pièce et à compter le nombre de fois où on obtient pile correspond à un schéma de Bernoulli, et donc la variable aléatoire comptant le nombre de pile suit la loi binomiale $B(8;\frac{1}{2})$.

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels,$n \ne 0$.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $B(n;p)$.
Pour tout entier naturel $k\in [0;n]$, on a :

• $p(X=k)={n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}$
• $E(X)=np$
• $V(X)=np(1-p)$