Soient $A$ et $B$ deux évènements, $p(A) \ne 0$.
On dit que A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un n’influe pas sur la probabilité de réalisation de l’autre.

• Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $p_A(B)=p(B)$.

Attention de ne pas confondre évènements indépendants et évènements incompatibles !

• Deux évènements indépendants n’influent pas l’un sur l’autre mais peuvent apparaître simultanément. Ex. : « la voiture est grande » et « la voiture est blanche ».
• Deux évènements incompatibles ne peuvent pas apparaître simultanément. Ex. : « la voiture est grande » et « la voiture est petite ».

En reprenant notre exemple d’usine, on a vu que :

• $p_D( \bar T)=0,9$
• $p(\bar T)=0,188$

Les deux résultats n’ont rien à voir, c’est bien que les évènement $\bar T$ et $D$ ne sont pas indépendants, ils sont intrinsèquement liés. En effet, le test est fait pour détecter si une pièce est défectueuse.

Soient $A$ et $B$ deux évènements.
En reprenant la formule sur la probabilité de l’intersection vue plus haut, on obtient :

• $A$ et $B$ indépendants $\Leftrightarrow$ $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$

C’est en pratique le résultat dont l’on se sert pour prouver que deux éléments sont indépendants, ou quand on utilise l’hypothèse d’indépendance de deux évènements.
Ce résultat est intéressant car il n’exclue pas le cas $p(A)=0$.

On lance un dé.

• L’évènement $A$ « le résultat est pair » a pour probabilité $p(A)=\frac{1}{2}$.
• L’évènement $B$ « le résultat est 6 » a pour probabilité $p(B)=\frac{1}{6}$.
• L’évènement $C$ « le résultat n’est ni $1$ ni $2$ » a pour probabilité $p(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
• $p(A \cap B)=\frac{1}{6} \ \ne \ p(A) \times p(B)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}$ donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
• $p(A \cap C)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \ = \ p(A) \times p(C)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}$ donc $A$ et $C$ sont indépendants.

La démonstration de ce théorème est exigible. Retrouve-la dans l’onglet « Démonstrations » de cette fiche.

Ce théorème se comprend assez aisément :

• en disant que $A$ et $B$ sont indépendants, on dit que le fait que $A$ soit ou non réalisé n’influe pas sur la probabilité que $B$ se réalise.
• Or, si la probabilité que $B$ se réalise n’est pas modifiée, la probabilité qu’il ne se réalise pas ne l’est pas non plus (car $P(\bar B)=1-P(B)$).
• Donc $A$ et $\bar B$ sont indépendants.