Un arbre pondéré de probabilités représente de façon hiérarchisée toutes les issues possibles d’un problème. Si on a deux expériences successives, la première ayant 3 issues possibles et la seconde 4 :
l’arbre commencera par se diviser en 3branches,
puis chacune de ces branches se divisera en 4,
chaque branche est pondérée par une certaine probabilité.
De cette façon toutes les combinaisons possibles seront représentées par une feuille, située au bout de chaque branche finale.
Exemple
On a dans un sac des boules rouges (R), jaunes (J), et noires (N). Il existe deux modèles de boules : certaines sont en cuivre (C), d’autres en plomb (P). On pioche une boule dans le sac. On peut alors construire un arbre de probabilités représentant toutes les possibilités pour la boule piochée.
Remarque
Un arbre peut se construire de diverses façons, selon l’ordre que l’on choisit pour les expériences. Cela nous sera utile plus tard dans le calcul de probabilités.
Exemple
L’exemple précédent peut aussi s’illustrer par un arbre de probabilités commençant par traiter la couleur des boules avant de s’intéresser à leur matière. L’arbre reste juste.
Remarque
L’arbre de probabilité, s’il est bien fait, permet de schématiser rapidement des situations qui peuvent paraître complexes au premier abord, et de dénombrer exhaustivement toutes les issues possibles.
Attention à bien vérifier que, pour chaque nœud, l’ensemble des branches qui en partent représente bien toutes les possibilités éventuelles. Si tu en oublies une, l’arbre devient faux.
Définition
Probabilité conditionnelle
On s’intéresse à la probabilité d’un évènement sachant qu’un autre évènementest déjà réalisé. Soient A et B deux évènements, avec p(A)=0.
La probabilité de BsachantA s’écrit :
pA(B)
Pour calculer pA(B), on utilise la formule suivante :
pA(B)=p(A)p(A∩B)
Exemple
Dans une usine fabriquant des pièces de moteur, on a mis en place un test en fin de chaîne permettant d’identifier les pièces défectueuses pour les mettre sur le côté en attendant réparation. Toutes les pièces sont testées. Soient D l’évènement « la pièce est défectueuse », T l’évènement « la pièce est déclarée sainepar le test ».
On sait qu’en moyenne 20 % des pièces sont défectueuses à la sortie de la chaîne.
p(D)=0,2
On sait que ce test permet de repérer 90 % des pièces défectueuses en moyenne.
pD(Tˉ)=0,9
Ce test a aussi pour défaut de mettre au rebut 1 % des pièces saines.
pDˉ(Tˉ)=0,01 Un arbre de probabilité pondéré permet d’illustrer aisément la situation.
Remarque
Il faudra faire très attention à la façon dont est formulé l’énoncé, notamment pour déterminer si on te demande de calculer pA(B) ou p(A∩B).
Exemple
Les deux énoncés suivants se ressemblent, mais pourtant, la réponse n’est pas la même !
Quelle est la probabilité qu’à la sortie de l’usine une pièce passe le test positivement et soit pourtant défectueuse ?
Quelle est la probabilité qu’à la sortie de l’usine une pièce qui passe le test positivement soit pourtant défectueuse ?
Dans le premier cas, on ne suppose rien d’emblée, on demande la probabilité que les deux conditions soient réunies simultanément. Ainsi, on demande quelle est, parmi l’ensemble des pièces sortant de l’usine, la proportion de pièces à la fois validées par le test et défectueuses.
p(T∩D)
Dans le second on prend comme acquis que la pièce a passé le test, et on cherche la probabilité qu’elle soit défectueuse quand même. On cherche donc cette fois quelle est, parmi les pièces ayant passé positivement le test, la proportion de pièces défectueuses.
pT(D)
BPropriétés
Propriété
Propriétés des probabilités conditionnelles
Soient A et B deux évènements, p(A)=0.
0≤pA(B)≤1 : une probabilité conditionnelle reste une probabilité.
pA(Bˉ)=1−pA(B)
pA(A)=1 : on sait que A est réalisé, la probabilité qu’il se réalise est donc 1.
Si A et B sont incompatibles, pA(B)=0 : on sait que A est réalisé, B étant incompatible avec A, il ne peut se réaliser.
Propriété
Intersection et probabilité conditionnelle
Soient A et B deux évènements, p(A)=0.
p(A∩B)=p(A)×pA(B)
Remarque
C’est la formule la plus importante de cette leçon.
Ainsi, pour compléter les feuilles des arbres de probabilité, il suffit de multiplier les probabilités inscrites sur les branches en amont.
Exemple
Si on reprend notre exemple d’usine :
p(D∩T)=p(D)×pD(T)=0,2×0,1=0,02
Ainsi, seulement 2 % des pièces sont défectueuses et passent pourtant positivement le test.
p(Dˉ∩Tˉ)=p(Dˉ)×pDˉ(Tˉ)=0,8×0,01=0,008
Ainsi, les pièces saines mises au rebut représentent 0,8 % de la production totale.
On peut calculer de la même façon p(D∩Tˉ) et p(Dˉ∩T) et donc compléter l’arbre pondéré de probabilités.
Remarque
Cette formule est utilisable aussi en intervertissant A et B, si p(B)=0.
p(A∩B)=p(A)×pA(B)=p(B)×pB(A)
Cela peut permettre de trouver pB(A) à partir de pA(B).
Définition
Probabilité et partition de l’univers
Soit Ω l’univers des possibles. On dit que E1, E2, E3, …, En sont n évènements formant une partition de l’univers si et seulement si :
ils sont tous incompatibles entre eux ; et
Ω=E1∪E2∪....∪En
On a alors :
p(E1)+p(E2)+....+p(En)=1
Remarque
Chaque ensemble de branches qui part d’un nœud de l’arbre doit être une partition de Ω. Tu dois balayer l’ensemble des possibilités sans qu’aucune ne se superpose à une autre.
La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut donc toujours 1.
Ce résultat te permettra souvent de compléter un arbre de probabilités incomplet.
Exemple
{A;Aˉ} est une partition simple de l’univers des possibles. C’est celle qu’on a utilisée dans les exemples précédents.
Formule
Probabilités totales
Soit A un évènement. Si E1, E2, E3, …, En forment une partition de l’univers Ω, on a :
p(A)=p(A∩E1)+⋯+p(A∩En)
p(A)=∑k=1np(A∩Ek)
Remarque
Concrètement, cela revient à dire que la probabilité d’un évènement est égale à la somme des probabilités des feuilles de l’arbre de probabilités où cet évènement est réalisé.
Exemple
Reprenons l’exemple de notre usine. On voudrait savoir quelle est la probabilité p(Tˉ) que le test place une pièce au rebut. D et Dˉ forment une partition de l’univers donc on a selon la formule des probabilités totales :
p(Tˉ)=p(Tˉ∩D)+p(Tˉ∩Dˉ) =pieces defectueuses mises au rebut+pieces saines mises au rebut =0,18+0,008 p(Tˉ)=0,188
Le test place donc 18,8 % des pièces au rebut. Cette donnée nous permet de « renverser » l’arbre pondéré de probabilités dans le but par exemple de trouver la probabilité qu’une pièce contrôlée comme défectueuse soit effectivement défectueuse
pTˉ(D)=x=0,1880,18=0,957.
Remarque
Les valeurs sur les feuilles ne changent pas après un renversement de l’arbre. Attention par contre de bien remettre chaque feuille sur sa branche correspondante car l’ordre change.