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À savoir refaire
1
Rappels
2
Probabilité conditionnelle
3
Indépendance
4
Lois de probabilités discrètes (rappels de 1ère)
À savoir refaire

  • Manipuler un arbre de probabilités

    Une épidémie sévère touche la population française.
    Un vaccin a été mis au point et largement distribué : 5050 % de la population est vaccinée.
    Des tests médicaux ont révélé les performances du vaccin :


    Vacciné, on a 11 % de chances de tomber malade. 
    Non vacciné, les chances de rester sain sont de 2525 %.

     
    On considérera que la population française est assez grande pour pouvoir assimiler probabilités et proportions.


    1. Quel pourcentage de la population est atteint par l’épidémie ?
    2. Quelle proportion des malades est pourtant vaccinée ?
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      Traduire l’énoncé mathématiquement

      On commence par introduire des évènements.
      Soit MM l’évènement « l’individu est malade ».
      Soit VV l’évènement « l’individu est vacciné ».
      L’énoncé nous donne :
      • p(V)=0,5p(V)=0,5
      • pV(M)=0,01p_V(M)=0,01
      • pVˉ(Mˉ)=0,25p_{\bar V}(\bar M)=0,25
        On cherche :
      • p(M)p(M)
      • pM(V)p_M(V)
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      Construire l’arbre de probabilités correspondant

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      Exploiter la formule des probabilités totales

      Comme VV et Vˉ\bar V forment une partition de l’univers, la formule des probabilités totales nous donne :
      • P(M)=P(M∩V)+P(M∩Vˉ)P(M) = P(M \cap V)+P(M \cap \bar V)
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      Calculer les données manquantes

      On calcule donc la première et la troisième feuille de l’arbre en partant du haut.
      On sait que la valeur d’une feuille est égale au produit des valeurs des branches qui y mènent.
      • P(M∩V)=p(V)×pV(M)=0,5×0,01=0,005P(M \cap V) = p(V) \times p_V(M) = 0,5 \times 0,01 = 0,005
      • P(M∩Vˉ)=p(Vˉ)×pVˉ(M)=0,5×(1−0,25)=0,5×0,75=0,375P(M \cap \bar V) = p(\bar V) \times p_{\bar V}(M) = 0,5 \times (1-0,25) = 0,5 \times 0,75 = 0,375 (la somme des valeurs des branches d’un nœud vaut toujours 11)
        On  a donc :
      • P(M)=P(M∩V)+P(M∩Vˉ)=0,005+0,375=0,38P(M) = P(M \cap V)+P(M \cap \bar V)=0,005+0,375=0,38
      3838 % de la population française est atteinte par l’épidémie.
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      Retourner l’arbre de façon à trouver pM(V)p_M(V)

      Attention de bien remettre les feuilles à leur place.
      De même que précédemment, le calcul des feuilles nous permet de trouver aisément la donnée recherchée.  
      • P(M∩V)=p(M)×pM(V)P(M \cap V) = p(M) \times p_M(V)
      • donc pM(V)=P(M∩V)p(M)p_M(V)=\frac{P(M \cap V)}{p(M)} (on a vu que p(M)≠0p(M)\ne 0)
      • pM(V)=0,0050,38≈0,013p_M(V)=\frac{0,005}{0,38}\approx 0,013
        Donc environ 1,31,3 % des malades avaient pourtant été vaccinés.
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      Remarques

      • N’oublie pas de traduire en français les résultats trouvés, surtout si l’énoncé les demandait comme ici. Cela montre que tu as compris l’exercice.
      • Si tu connais parfaitement tes formules, tu peux te passer des arbres de probabilité, cependant ceux-ci t’éviteront de faire des erreurs d’étourderie, et surtout te permettront d’établir beaucoup plus facilement une stratégie de résolution. Il est donc conseillé de s’appuyer au moins sur un arbre fait rapidement au brouillon.

  • Utiliser l’indépendance et la loi binomiale

    Raph, tous les matins, hésite pour son petit déjeuner entre un bol de céréales et des tartines de pain. Pour trancher, il lance un dé et une pièce de monnaie. Si le résultat du dé est supérieur ou égal à 33, et si la pièce tombe sur pile, il choisit le bol de céréales, dans tous les autres cas, il opte pour les tartines.  

    1-Quelle est la probabilité que Raph mange des céréales un matin donné? 
    2-Quelle est la probabilité que Raph mange des céréales au moins 44 fois au cours d’une semaine de cours (55 jours)?
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      Traduire et interpréter mathématiquement l’énoncé

      Soit DD l’évènement « le résultat du dé est supérieur ou égal à 33 ».
      Soit PP l’évènement « le pièce retombe sur pile ».
      Soit CC l’évènement « Raph mange des céréales ».
      • p(C)=p(D∩P)p(C)=p(D \cap P)
      • Il te faut noter une information implicite de l’énoncé : DD et PP sont indépendants. En effet, le résultat du dé n’a aucune influence sur celui de la pièce et vice versa.
      • De même, le petit déjeuner de Raph d’un certain jour n’a pas d’influence sur celui du jour suivant.
       
      • On cherche p(C)p(C).
        Soit XX la variable aléatoire comptabilisant le nombre de fois où Raph mange des céréales dans sa semaine.
      • L’expérience consiste à répéter 55 fois et de façon indépendante la même épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p(C)p(C). XX suit donc la loi binomiale B(5;p(C))B(5;p(C)).
      • On cherche p(X≥4)p(X \geq 4).
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      Exploiter l’indépendance des évènements

      Comme DD et PP sont indépendants, p(C)=p(D∩P)=p(D)×p(P)p(C)=p(D \cap P)=p(D) \times p(P).
      • Or, p(D) est la probabilité d’obtenir 33, 44, 55, ou 66 au lancer de dé. Donc p(D)=16+16+16+16=23p(D)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}.
      • La probabilité de tomber sur pile au lancer de pièce est de 12\frac12.
      • Donc p(C)=23×12=13p(C)=\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}.
        Donc Raph a une probabilité de manger des céréales le matin de 13\frac13.
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      Utiliser la loi binomiale

      XX suit donc la loi binomiale B(5;13)B(5;\frac13)  

      p(X≥4)=p(X=4)+p(X=5)p(X \geq 4)=p(X=4)+p(X=5)
      =(54)×(13)4×(1−13)5−4+(55)×(13)5×(1−13)5−5={5 \choose 4} \times (\frac13)^4 \times (1-\frac13)^{5-4}+{5 \choose 5} \times (\frac13)^5 \times (1-\frac13)^{5-5}
      =5×(13)4×(23)+1×(13)5×1=5 \times (\frac13)^4 \times (\frac23)+1 \times (\frac13)^5 \times 1
      =5×(13)5×2+(13)5=5 \times (\frac13)^5 \times 2+(\frac13)^5
      =11×(13)5=1135≈0,045=11 \times (\frac13)^5=\frac {11}{3^5} \approx 0,045  

      Donc Raph a environ 4,54,5 % de chances de manger 44 fois des céréales pour son petit déjeuner dans la même semaine.
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      Remarques

      • Continue à t'entraîner en calculant l’espérance et l’écart-type de XX.
        • E(X)=5×13=53≈1,7E(X)=5\times \frac13=\frac 53 \approx 1,7
                          Raph peut s’attendre à, en moyenne, manger 1,71,7 fois des céréales par semaine.
        • σ(X)=5×13×(1−13)=109≈1,05\sigma(X)=\sqrt{5\times \frac13 \times (1-\frac13)}=\sqrt{\frac {10}{9}} \approx 1,05
                          En moyenne le nombre de jours où Raph mangera des céréales variera donc d’à peu près 11 jour autour de l’espérance d'1,71,7 jours.  
      • L’indépendance de deux évènements sera souvent soulignée par l’énoncé. Dans ce cas, il faudra tout de suite avoir le réflexe de mobiliser le formule de la probabilité de l’intersection, ou tes connaissances sur la loi binomiale.
      • Lorsque l’indépendance n’est pas explicitement soulignée, reste attentif pour identifier les cas, comme ici, où l’indépendance est évidente.
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