Soient (d) une droite et (P1) et (P2) deux plans sécants.
Si (d) est parallèle à (P1) et (P2), alors (d) est parallèle à leur droite d’intersection Δ.
Coordonnées d’un vecteur de l’espace
Soient (O;u;v;w) un repère, A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) des points de l’espace. Le vecteur AB a pour coordonnées :
AB(xB−xA;yB−yA;zB−zA)
Distance entre deux points de l’espace
Soient (O;u;v;w) un repère orthonormal, A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) des points de l’espace. La distance entre A et B vaut :
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2
Équation paramétrique d’une droite
Dans le repère (O;u;v;w), la droite passant par A(xA;yA;zA) et de vecteur directeur u(a;b;c) a pour équation paramétrique :
x=xA+ta y=yA+tb z=zA+tc
Équation paramétrique d’un plan
Dans le repère (O;u;v;w), le plan contenant A(xA;yA;zA) et de vecteurs directeurs u(a;b;c) et v(a′;b′;c′) (non coplanaires) a pour équation paramétrique :
x=xA+ta+t′a′ y=yA+tb+t′b′ z=zA+tc+t′c′
Produit scalaire
Soient u et v des vecteurs de l'espace. On appelle produit scalaire de u et v le réel u⋅v égal à :
0 si u ou v est nul ; ∣∣u∣∣×∣∣v∣∣×cos(u,v) sinon.
Produit scalaire et orthogonalité
Deux vecteurs de l’espace u et v sont orthogonaux si et seulement si :
u⋅v=0
Équation cartésienne d’un plan dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé de l’espace (O;i;j;k), le plan contenant A(xA;yA;zA) et de vecteur normal n(a;b;c) non nul a pour équation cartésienne :
ax+by+cz+d=0 où d=−(axA+byA+czA)
Vecteur normal à partir d’une équation cartésienne
Soit (P) un plan de l’espace décrit, dans le repère orthonormé (O;i;j;k), par l’équation cartésienne ax+by+cz+d=0 où (a;b;c)=(0;0;0). Un vecteur normal à P est :