Proposition : 
Si une droite $(d)$ est orthogonale à deux droites sécantes $(d_1)$ et $(d_2)$, alors elle est orthogonale au plan $(P)$ qui les contient.  

Démonstration :  
Il suffit de montrer que $(d)$ est orthogonale à toute droite de $(P)$.
Soit donc $(d')$ une droite de $(P)$. On note $\vec{v}$ un vecteur directeur de $(d)$, $\vec{w}$ un vecteur directeur de $(d')$, et $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ des vecteurs directeurs de $(d_1)$ et $(d_2)$.
Comme $\vec{w}$, $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont coplanaires, et que $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ ne sont pas colinéaires (car $(d_1)$ et $(d_2)$ sont sécantes), il existe $x$ et $y$ tels que $\vec{w} = x \vec{u_1} + y \vec{u2}$.
Or par hypothèse, $(d)$ est orthogonale à $(d_1)$ et $(d_2)$, donc leurs vecteurs sont orthogonaux, c'est-à-dire :

• $\vec{v} \cdot \vec{u_1} = 0$ et $\vec{v} \cdot \vec{u_2} = 0$

Ainsi par linéarité du produit scalaire,

• $\vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{v} \cdot (x\vec{u_1} + y \vec{u_2}) = x \vec{v} \cdot \vec{u_1} + y \vec{v} \cdot \vec{u_2}) = x \times 0 + y \times 0 = 0$

Donc $\vec{v}$ et $\vec{w}$, les vecteurs directeurs de $(d)$ et $(d')$, sont orthogonaux. Et donc les droites $(d)$ et $(d')$ sont elles-mêmes orthogonales.
Ainsi $(d)$ est orthogonale à toute droite de $(P)$, et est donc par définition orthogonale à $(P)$.

Proposition :
Si une droite $(d)$ est parallèle à deux plans sécants $(P_1)$ et $(P_2)$, alors $(d)$ est parallèle à leur droite d’intersection $\Delta$.  

Démonstration : 
Soit $A$ un point de $\Delta$ et $(d')$ la parallèle à $(d)$ passant par $A$. La droite $(d)$ est parallèle à $(P_1)$ et $A$ est un point de $(P_1)$, donc $(d')$ est incluse dans $(P_1)$. De même, $(d')$ est incluse dans $(P_2)$. Ainsi $(d')$ est dans l’intersection de $(P_1)$ et $(P_2)$. On en déduit que $(d')$ est confondue avec $\Delta$ : $(d)$ et $\Delta$ sont donc parallèles.

Proposition :
Dans un repère orthonormé de l’espace $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, soient $A(x_A,y_A,z_A)$ un point et $\vec{n}(a,b,c)$ un vecteur non nul.
Les points $M(x,y,z)$ de l’espace appartenant au plan $(P)$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ sont ceux dont les coordonnées vérifient l’équation :

• $ax+by+cz+d=0$
• où $d=-(ax_A+by_A+cz_A)$.

Cette équation est appelée équation cartésienne de $(P)$.  

Démonstration :   Soit $M(x;y;z)$ un point de l’espace. Alors $M$ appartient à $(P)$ si et seulement si la droite $(AM)$ est contenue dans $(P)$. Et comme $\vec{n}$ est un vecteur normal à $(P)$, $M$ appartient à $(P)$ si et seulement si $\vec{AM}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux.
Ainsi en écrivant le produit scalaire dans le repère orthonormé  $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$,
$\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$ si et seulement si $a(x-x_A)+b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$
On distribue les coordonnées de $\vec{n}$ pour trouver :
$\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$ si et seulement si $ax+by+cz -(a x_A + b y_A + c z_A) = 0$

Et donc comme $d=-(ax_A+by_A+cz_A)$, on a :

• $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$ si et seulement si $ax+by+cz +d = 0$

Ainsi $M(x,y,z)$ à $(P)$ si et seulement si $ax+by+cz +d = 0$.