Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ des vecteurs de l'espace. On appelle produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le réel $\vec{u} \cdot \vec{v}$ égal à :

• 0 si $\vec{u}$ ou $\vec{v}$ est nul ;
• $||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos (\vec{u},\vec{v})$ sinon.

Deux vecteurs de l'espace $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Le produit scalaire est :

• commutatif : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ;
• linéaire : $\vec{u} \cdot (\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $\vec{u} \cdot (t\vec{v}) = t(\vec{u} \cdot \vec{v})$ pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$, et tout réel $t$.

Soit $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère orthonormé et $\vec{u}(a;b;c)$ et $\vec{v}(d;e;f)$ deux vecteurs.

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = ad+be+cf$

Un plan $P$ est entièrement caractérisé par un point de $P$ et un vecteur normal à $P$.

Soient $A$ un point et $\vec{n}$ un vecteur non nul. On note $P$ un plan contenant $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.

Le plan $P$ est défini par l’ensemble des points $M$ vérifiant :

• $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$

Dans le repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$, soient $A(x_A;y_A;z_A)$ un point et $\vec{n}(a;b;c)$ un vecteur non nul. On appelle $P$ le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.

• Les points $M(x;y;z)$ du plan $P$ sont ceux dont les coordonnées vérifient l'équation cartésienne : 
  • $ax+by+cz+d=0$ où $d=-(ax_A+by_A+cz_A)$.

Dans le repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$, le plan passant par le point $A(1;0;0)$ et de vecteur normal $\vec{n}(-1;6;4)$ a pour équation cartésienne $-x+6y+4z+1=0$.

Soient $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère orthonormé, et  $P$ un plan d'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ où $(a;b;c) \neq (0;0;0)$.

• Un vecteur normal à $P$ est $\vec{n}(a;b;c)$.

Dans le repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$, un vecteur normal au plan d’équation cartésienne $2x-y+3z+5=0$ est $\vec{n}(2;-1;3)$.