Un plan de l'espace est entièrement caractérisé par trois points non alignés.

Un plan $P$ de l'espace est entièrement caractérisé par :

• un point $O$ ; 
• deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires.

On note :

• $P = (O;\vec{u};\vec{v})$.

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ sont dits coplanaires si, en choisissant un point $O$ de l'espace, et en notant $A$ le point tel que $\vec{w} = \vec{OA}$, $A$ appartient au plan $(O;\vec{u};\vec{v})$.

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires ou bien s'il existe des réels $x$ et $y$ tels que :

• $\vec{w} = x \vec{u} + y \vec{v}$

Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$  des vecteurs non coplanaires et $O$ un point de l'espace. Pour tout point $M$, il existe des réels $x$, $y$ et $z$, tels que :

• $\vec{OM} = x \vec{u} + y \vec{v} + z \vec{w}$

  On dit que $(O;\vec{u};\vec{v};\vec{w})$ est un repère de l'espace d'origine $O$. On appelle $(x,y,z)$ les coordonnées de $M$ dans ce repère : $x$ est l'abscisse, $y$ l'ordonnée, et $z$ la cote. On note $M(x;y;z)$

Un repère $(O;\vec{u};\vec{v};\vec{w})$ de l'espace est dit :

• orthogonal si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux ;
• orthonormé s'il est orthogonal et si ses vecteurs sont de norme égale à 1.

Soit $(O;\vec{u};\vec{v};\vec{w})$ un repère de l'espace. Si $\vec{r}$ est un vecteur de l'espace, il existe des réels $x$, $y$ et $z$, tels que :

• $\vec{r} = x \vec{u} + y \vec{v} + z \vec{w}$

  On écrit :

• $\vec{r}(x;y;z)$

Soient $(O;\vec{u};\vec{v};\vec{w})$ un repère, $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ des points de l'espace. Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées :

• $\vec{AB}$ $(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$

Soient  $(O;\vec{u};\vec{v};\vec{w})$ un repère orthonormal,  $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ des points de l'espace.
La longueur $AB$ vérifie :

• ${AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}}$

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $t$ tel que :

• $\vec{u} = t \times \vec{v}$ ou $\vec{v} = t \times \vec{u}$.

Trois points A,B,C de l'espace sont alignés si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

Dans un repère $(O;\vec{u};\vec{v},\vec{w})$, soient $A(x_A;y_A;z_A)$ un point et $\vec{u}(a;b;c)$ un vecteur non nul. Soit $(d)$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.

• Les points $M(x;y;z)$ de $(d)$ vérifient l’équation paramétrique :
  • $x = x_A+ta$
  • $y = y_A+tb$
  • $z = z_A+tc$

où $t$ est un réel quelconque.

La droite passant par le point $A(2 ; 0;-1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(-3;7;-2)$ a pour équation paramétrique :

• $x = 2-3t$
• $y = 7t$
• $z = -1-2t$

où $t$ est un réel quelconque.

Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$, soit $A(x_A;y_A;z_A)$ un point, $\vec{u}(a;b;c)$ et $\vec{v}(a';b';c')$ deux vecteurs non colinéaires. Soit $P$ le plan passant par $A$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

• Les points de $M(x;y;z)$ de $P$ vérifient l’équation paramétrique :
  • $x = x_A+ta+t'a'$
  • $y = y_A+tb+t'b'$
  • $z = z_A+tc+t'c'$

où $t$ et $t'$ sont des réels quelconques.

Le plan $P$ passant par le point $A(-1;5;2)$ et de vecteur directeurs $\vec{u}(1;2;-4)$ et $\vec{v}(-8;3;5)$ a pour équation paramétrique :

• $x = x_A +t-8t'$
• $y = y_A+2t+3t'$
• $z = z_A-4t+5t'$

où $t$ et $t'$ sont des réels quelconques.