On applique la formule du cours. Un vecteur normal au plan $P$ est $\vec{n}(2;1;-5)$.

Cela revient à savoir si l’on peut trouver un réel $t$ tel que $\vec{u} = t \vec{n}$.
Ici, on constate que $\vec{u} = -\frac{1}{2} \vec{n}$.

• Donc $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.

Comme $\vec{u}$ est colinéaire à $\vec{n}$, et que $\vec{n}$ est orthogonal à $P$, on en déduit que $\vec{u}$ est orthogonal à $P$.

On applique la formule du cours sur l’équation paramétrique d’une droite. Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}(-4;-2;10)$.

Cela revient à savoir si l’on peut trouver un réel $t$ tel que $\vec{u} = t \vec{n}$.
Ici, on constate que $\vec{u} = -2 \vec{n}$.

• Donc $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.

Comme $\vec{u}$ est colinéaire à $\vec{n}$, et que $\vec{n}$ est orthogonal à $P$, on en déduit que $\vec{u}$ est orthogonal à $P$.
Or $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

• Donc $(d)$ est orthogonale à $P$.

Un vecteur de la droite $(AB)$ est $\vec{AB}$. Dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$, $\vec{AB}$ a pour coordonnées $\vec{AB}(-3;-1;1)$

Par définition, $A(1;1;0)$ est sur la droite.

On peut soit appliquer la formule du cours, soit refaire le raisonnement suivant :

• $M(x;y;z)$ est sur $(AB)$ si et seulement si il existe $t \in R$ tel que $\vec{AM} = t \vec{AB}$.

En regardant l’égalité précédente coordonnées par coordonnées, on obtient l’équation paramétrique :

• $x = 1-3t$
• $y = 1-t$
• $z = t$

$\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires et sont dans le plan $(ABC)$ donc ce sont deux vecteurs directeurs possibles. Dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, ils ont pour coordonnées :

• $\vec{AB}(1;1;0)$
• $\vec{AC}(0;1;1)$

Par définition, $A(0;0;0)$ est dans le plan $(ABC)$.

On peut soit appliquer la formule du cours, soit refaire le raisonnement :
$M(x;y;z)$ est dans le plan $(ABC)$ si et seulement si il existe des réels $t$ et $t'$ tels que :

• $\vec{AM} = t \vec{AB} + t' \vec{AC}$

En regardant l’égalité précédente coordonnées par coordonnées, on obtient l’équation paramétrique :

• $x = t$
• $y = t+t'$
• $z = t'$

Pour $(AB)$, on trouve :

• $x = 1$
• $y = 1+t$
• $z = 1$

Pour $(CD)$ :

• $x = -1+t$
• $y = t$
• $z = 1$

On  cherche $t$ et $t'$ tels que :

• $x = 1$
• $y = 1+t$
• $z = 1$
• $x = -1+t'$
• $y = t'$
• $z = 1$

En général trois cas de figure peuvent se présenter :

• il n’y a pas de solution : les droites ne s’intersectent pas ;
• il y a une seule solution : les droites sont sécantes ;
• il y a une infinité de solutions : les droites sont confondues.

Résolvons le système !

• $x = 1 = -1 + t'$ donc $t' = 1 + 1 = 2$.
• $y = 1+t =t'$ donc $1+t = 2$ donc $t = 2 - 1 = 1$.

Donc :

• $t = 1$
• $t' = 2$
• $x = 1$
• $y = 2$
• $z = 1$

Les droites sont donc sécantes.

• Elles se coupent en $M(1;2;1)$.

On trouve pour $(AB)$ :

• $x = -1+t$
• $y = t$
• $z = 1$

Cela revient à résoudre le système :

• $x = -1+t$
• $y = t$
• $z = 1$
• $x-y+2z-1=0$

En général, trois cas de figure peuvent se présenter :

• il n’y a aucune solution : le plan et la droite ne s’intersectent pas ;
• il y une seule solution : la droite « traverse » le plan ;
• il y a une infinité de solutions : la droite est contenue dans le plan.

Ici, le système admet une infinité de solutions car pour tout réel $t$, en remplaçant les expressions de $x$, $y$ et $z$ en fonction de $t$ dans l’équation cartésienne, on trouve :

• $x-y+2z-1 = (-1+t)-t+2 \times 1 - 1 = 0$.

Ainsi la droite est incluse dans le plan : l’intersection de $(AB)$ et du plan est $(AB)$.

Un vecteur normal à $(P)$ est : $\vec{n}(1;-1;2)$.
Un vecteur normal à $(P')$ est : $\vec{n'}(1;0;-1)$.

On sait que :

• si les vecteurs normaux sont colinéaires : les deux plans sont soit confondus soit strictement parallèles ;
• si les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires : les deux plans ont pour intersection une droite.

Ici, il ne sont pas colinéaires car sinon il existerait $t$ tel que $\vec{n} = t \vec{n'}$. En regardant l’égalité selon l’ordonnée, on obtiendrait $-1= t \times 0 =0$, ce qui n’est pas possible.

Ainsi les plans s’intersectent selon une droite $(d)$.

La droite est l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient les équations cartésiennes de $(P)$ et de $(P')$, c’est-à-dire qui vérifient le système :

• $x-y+2z-1=0$
• $x-z+1=0$

Pour en déduire une équation paramétrique, il suffit de poser une coordonnée égale au paramètre ; ici on a choisi (de manière arbitraire) $z$.

• $x-y+2z-1=0$
• $x-z+1=0$
• $z=t$

Ainsi en remplaçant $z$ par $t$ dans les deux équations :

• $x-y+2t-1=0$
• $x-t+1=0$
• $z=t$

Et donc :

• $x-y+2t-1=0$
• $x=t-1$
• $z=t$

En remplaçant $x$ par son expression en fonction de $t$ on trouve :

• $-y+3t-2=0$
• $x=t-1$
• $z=t$

Et donc l’équation paramétrique de la droite $(d)$ est :

• $x=t-1$
• $y=2-3t$
• $z=t$