undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

0 pts

Formules et Théorèmes

Forme algébrique

Nombres complexes et géométrie

Cas d'application des nombres complexes

À savoir refaire

Formules et Théorèmes

Carré du nombre $i$
On définit le nombre $i$ de la façon suivante.
$i^2 = -1$
Forme algébrique d'un nombre complexe
Tout nombre complexe $z$ peut s'écrire sous une forme algébrique.
$z=a+ib$
$Re(z)=a$ (partie réelle de $z$ )
$Im(z)=b$ (partie imaginaire de $z$ )
Forme trigonométrique, module et argument d'un nombre complexe
Tout nombre complexe $z$ peut s'écrire sous une forme trigonométrique.
$z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$
$r$ est le module de $z$ .
$\theta$ est un argument de $z$ .
Notation exponentielle
Un nombre complexe $z$ , de module $r$ et d'argument $\theta$ a la forme exponentielle suivante :
$re^{i\theta}$
Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique
Si $z$ admet la forme trigonométrique $z=r(\cos(\theta)+i \sin(\theta))$ , alors :
$Re(z) = r \cos(\theta)$
$Im(z) = r \sin(\theta)$
Définition du conjugué
Soit $z=a+ib$ , où $a$ et $b$ sont des réels.
On appelle $\bar{z}$ le conjugué de $z$ .
$\bar{z} = a-ib$
$z\bar{z}=a^2+b^2$
Propriétés du conjugué
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes.
$\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$
$\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'}$
$\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}$ , si $z' \neq 0$
Définition du module
Soit $z=a+ib$ , où $a$ et $b$ sont des réels.
On note $|z|$ le module de $z$ .
$|z| = \sqrt{a^2+b^2}$
Propriétés du module
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes, et $n$ un entier naturel.
$|z| = \sqrt{z \bar{z}}$
$| z^n | = |z|^n$
$| z z' | = |z| |z'|$

$|\frac{z}{z'}| = \frac{|z|}{|z'|}$ , si $z'$ n'est pas nul

$|z+z'| \leq |z| + |z'|$
Argument d'un nombre complexe
Soit $z$ un nombre complexe non nul et $M$ le point du plan dont il est l'affixe.
$\arg(z) = (\vec{u};\vec{OM})$ .
Argument et opérations
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes, et $n$ un entier naturel.
$\arg(z^n)=n \arg(z)$
$\arg(zz') = \arg(z) + \arg(z')$
$\arg(\frac{z}{z'}) = \arg(z) - \arg(z')$
$\arg(-z) = \arg(z) + \pi$
$\arg(\bar{z}) = -\arg(z)$
Définition de l'affixe d'un point
Soit M un point de coordonnées $(x;y)$ dans le plan muni du repère orthonormé $(O;\vec{u},\vec{v})$ .
On note $z_M$ son affixe, définie comme suit.
$z_M = x+iy$
Définition de l'affixe d'un vecteur
Soit $\vec{w}$ un vecteur du plan de coordonnées $(x,y)$ .
On note $z_w$ son affixe, définie comme suit.
$z_{\overline{w}}=x+iy$
Calcul de la longueur d'un segment à l'aide des affixes
Soient $A$ et $B$ deux points du plan.
On note $z_A$ et $z_B$ leurs affixes respectives.
$AB = |z_A-z_B|$
Calcul d'un angle orienté à l'aide des affixes
Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ des points distincts du plan.
On note $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ et $z_D$ leurs affixes respectives.
$(\vec{AB}, \vec{CD}) = \arg(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A})$
Affixe d'un vecteur
Soient $A$ et $B$ deux points du plan.
On note $z_A$ et $z_B$ leurs affixes respectives.
On note $z_{\vec{AB}}$ l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ , définie comme suit.
$z_{\vec{AB}}=z_B-z_A$
Résolution dans $C$ d'une équation du second degré avec $\Delta<0$
Soit $(E) : ax^2+bx+c=0$ une équation du second degré de discriminant $\Delta <0$ .
$(E)$ admet 2 solutions distinctes complexes $x_1$ et $x_2$ .
$x_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

$x_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

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Carré du nombre iii

Forme algébrique d'un nombre complexe

Forme trigonométrique, module et argument d'un nombre complexe

Notation exponentielle

Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique

Définition du conjugué

Propriétés du conjugué

Définition du module

Propriétés du module

Argument d'un nombre complexe

Argument et opérations

Définition de l'affixe d'un point

Définition de l'affixe d'un vecteur

Calcul de la longueur d'un segment à l'aide des affixes

Calcul d'un angle orienté à l'aide des affixes

Affixe d'un vecteur

Résolution dans CCC d'une équation du second degré avec Δ<0\Delta<0Δ<0

Carré du nombre $i$

Résolution dans $C$ d'une équation du second degré avec $\Delta<0$